Задача 53552 dy/dx cos^2x = tgx-y ; y=0 при x=0...
Условие
Решение
Делим на [m]cos^2x[/m]
[m]y`+y\cdot \frac{1}{cos^2x}=\frac{sinx}{cos^3x}[/m]
Линейное дифференциальное уравнение вида:
[m]y`+p(x)y=f(x)[/m]
Решаем методом Бернулли.
Решение в виде произведения
y(x)=u(x)*v(x)
y`=u`*v+u*v`
[m]u`\cdot v+u\cdot v`+ u\cdot v \frac{1}{cos^2x}=\frac{sinx}{cos^3x}[/m]
Группировка:
[m]u`\cdot v+(u\cdot v`+\cdot u\cdot v\cdot\frac{1}{cos^2x})=\frac{sinx}{cos^3x}[/m]
[m]u`\cdot v+u\cdot( v`+\frac{v}{cos^2x})=\frac{sinx}{cos^3x}[/m]
1) полагаем
[m] v`+\frac{v}{cos^2x}=0[/m]
тогда
2)[m]u`\cdot v=\frac{sinx}{cos^3x}[/m]
Это два уравнения с разделяющимися переменными
1)
[m] v`+\frac{v}{cos^2x}=0[/m], так как [m] v`=\frac{dv}{dx}[/m]
[m]\frac{dv}{v}=-\frac{dx}{cos^2x}[/m]
Интегрируем:
[m]\int \frac{dv}{v}=-\int \frac{dx}{cos^2x}[/m]
[m]\int \frac{dv}{v}=-tgx[/m]
[m] ln|v|=-tgx[/m] ( C=0) ⇒ [m] v=e^{-tgx}[/m]
и подставляем в 2)
2)[m]u`\cdot e^{-tgx}=\frac{sinx}{cos^3x}[/m]
так как [m] u`=\frac{du}{dx}[/m]
[m]du=e^{tgx}\cdot \frac{sinx}{cos^3x}dx[/m]
Интегрируем:
[m]\int du=\int e^{tgx}\cdot \frac{sinx}{cos^3x}dx[/m]
[m]\int du=\int e^{tgx}\cdot tgx \cdot \frac{1}{cos^2x}dx[/m]
Cправа [m]\int e^{t}\cdot t dt[/m]
считаем по частям:
u=t
dv=e^(t)dt
du=dt
v=e^(t)
[m]\int e^{t}\cdot t dt=t\cdot e^{t}-\int e^{t} dt=t\cdot e^{t}-e^{t}+C[/m]
[m]u= tgx \cdot e^{tgx}-e^{tgx}+C[/m]
y=u*v=[m]e^{-tgx}\cdot (tgx \cdot e^{tgx}-e^{tgx}+C)[/m]
y=[m]tgx-1+C[/m]
y(0)=0
0=tg0-1+C
C=1
y=[m]tgx[/m]- частное решение соответствующее начальному условию y(0)=0