Задача 53531 При каких значениях б и с многочлен f(x)...

5f522bdd8b85ef59a67d40d3

21.09.2020 13:06:11

При каких значениях б и с многочлен f(x) = х4 + 8х3 + + бх2 + сx + 1 имеет два корня, каждый из которых второй кратности? Для каждой пары таких значений б и с найдите корни многочлена.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.09.2020 14:41:27

★

Если многочлен [m]f(x)=x^4+8x^3+bx^2+cx+1[/m]

имет два корня, каждый второй кратности, то многочлен раскладывается на множители:

[m]x^4+8x^3+bx^2+cx+1=(x-x_{1})^2\cdot (x-x_{2})^2[/m] ⇒


[m]x^4+8x^3+bx^2+cx+1=((x-x_{1})\cdot (x-x_{2})^2[/m] ⇒

[m]x^4+8x^3+bx^2+cx+1=(x^2+px+q)^2[/m]

и
[m] x_{1}+x_{2}=-p[/m]

[m] x_{1}\cdot x_{2}=q[/m]


[m]x^4+8x^3+bx^2+cx+1=x^4+p^2x^2+q^2+2px^3+2qx^2+2pqx[/m]


[m]8x^3+bx^2+cx+1=2px^3+(p^2+2q)\cdot x^2+2pqx+q^2[/m]

Используя [i]условие равенства двух многочленов [/i]получаем:

2p=8 ⇒ p=4
q^2=1 ⇒ q= ± 1

(p^2+2q)=b

2pq=c


При q=1:
[m]b_{1}=18 [/m] [m] c_{1}=8 [/m]
и при p=4; q=1
многочлен [m]x^2+4x+1=0[/m] имеет корни [m]x_{1,2}=-2\pm\sqrt{3}[/m]

При q=-1:
[m]b_{2}=14 [/m] [m] c_{1}=-8 [/m]
и при p=4; q=-1
многочлен [m]x^2+4x-1=0[/m] имеет корни [m]x_{3,4}=-2\pm\sqrt{5}[/m]