Задача 5334 В правильной четырёхугольной пирамиде...

Anton

19.11.2015

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 8. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2sqrt(2/5).

а) Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые ВО и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Пусть точка О - центр основания. Тогда точка О - середина от-резка АС. Отрезок OL - средняя линия треугольника ASC, поэтому LO||SA и угол между прямыми BL и SA ранен углу прямыми BL и LO.
Диагонали к на л para пересекаются под прямым углом, поэтому ВО±АС. С другой сто|К)ны SO - высота пирамиды и BOLSO. Следовательно, прямая ВО перпендикулярна плоскости ACS, в частности BOLLO. Таким образом, треугольник BLO прямоугольный:

tg<BLO = BO/LO; BO = BD/2 = (sqrt(AB^2+AD^2))/2 = 4sqrt(2);

LO = BO/tg<BLO; LO = 4sqrt(2)/2sqrt(2/5) = 2sqrt(5); SA = 4sqrt(5).

Площадь боковой грани можно найти по формуле Герона:

p = (AB+SA+SB)/2 = 4+4sqrt(5); S(ABS) = sqrt(p(p-AB)(p-SA)(p-SB)) = sqrt(((4sqrt(5)+4)(4sqrt(5)-4)*4*4) = 32.

Площадь поверхности пирамиды равна: S = S(ABCD) + 4S(ABS) = 64+4*32 = 192.

Ответ: 192