✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 532 Найдите все значения а, при каждом из

УСЛОВИЕ:

Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции f(x)=x^2-7|x-a|-3x на отрезке [-6;6] принимает хотя бы на одном из концов этого отрезка.

РЕШЕНИЕ:

Для начала прикинем, как ведет себя функция на этом отрезке при изменении параметра a:

При x>a: f(x) = f1(x) = x^2-10x+7a
При x<a: f(x) = f2(x) = x^2+4x-7a
При x=a: f(x) = x^2-3x = a^2-3a

Функция может достигать максимального значения либо на границах отрезка, либо в точках максимума (если они есть), либо в особой точке (где выражение под модулем меняет свой знак, т.е. при x=a).

f1'(x) = (x^2-10x+7a)' = 2x-10. Экстремум в точке x=5, и это точка минимума (производная меняет знак с отрицательного на положительный).
f2'(x) = (x^2+4x-7a)' = 2x+4. Экстремум в точке x=-2, и это тоже точка минимума.
Так что максимумов у функции нет. Следовательно, наибольшего значения функция f(x) может достичь только либо на одной из границ отрезка [-6;6], либо в точке x=a.

Если a < -6 или a > 6, то функция всегда принимает максимальное значение на одной из границ отрезка, поскольку особая точка лежит вне его.

Если a принадлежит [-6;6], то условие выполняется, когда справедливо хотя бы одно из неравенств:

(1): f2(-6)>=f(a) (значение функции в левой границе отрезка больше ее значения в особой точке)
(2): f1(6)>=f(a) (значение функции в правой границе отрезка больше ее значения в особой точке)

(1): 36-24-7a >= a^2-3a
a^2+4a-12 <= 0
a принадлежит [-6;2]

(2): 36-60+7a >= a^2-3a
a^2-10a+24 <=0
a принадлежит [4;6]

Таким образом, функция f(x) принимает своё наибольшее значение на отрезке [-6;6] при всех значениях a от минус бесконечности до 2 включительно и от 4 включительно до плюс бесконечности.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

a ? (–?;2]?[4;+?)

Добавил slava191, просмотры: ☺ 2735 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 43609
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 43611
1)
х^3–2х^2–х+2=(x-a)*(x-b)*(x-c)

Раскрываем скобки

х^3–2х^2–х+2=(x^2-ax-bx+ab)*(x-c)

x^3-2x^2-x+2=x^3-ax^2-bx^2-cx^2+abx+acx+bcx-abc

Два многочлена равны, если степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях равны:

-2=-a-b-c
-1=ab+ac+bc
2=-abc

[b]a=2;b=1;c=-1[/b]

Система трех уравнений с тремя неизвестными.

Проще разложить на множители способом группировки:

(x^3-2x^2)-(x-2)=x^2*(x-2)-(x-2)=[b](x-2)*(x-1)*(x+1)[/b]

2)

x^4-13x^2+36=(x^2-a)*(x^2-b)


x^4-13x^2+36=x^4-ax^2-bx^2+ab

-13=-a-b

36=ab


Проще разложить на множители по формуле разложения кв трехчлена

D=13^2-4*36=169-144=25

x^2=(13-5)/2=4; x^2=(13+5)/2=9

x^4-13x^2+36=(x^2-4)*(x^2-9)
✎ к задаче 43610
(32,5)^2-(12,5)^2=1056,25-156,25=900 м
✎ к задаче 43613
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 43605