✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 532 Найдите все значения а, при каждом из

УСЛОВИЕ:

Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции f(x)=x^2-7|x-a|-3x на отрезке [-6;6] принимает хотя бы на одном из концов этого отрезка.

РЕШЕНИЕ:

Для начала прикинем, как ведет себя функция на этом отрезке при изменении параметра a:

При x>a: f(x) = f1(x) = x^2-10x+7a
При x<a: f(x) = f2(x) = x^2+4x-7a
При x=a: f(x) = x^2-3x = a^2-3a

Функция может достигать максимального значения либо на границах отрезка, либо в точках максимума (если они есть), либо в особой точке (где выражение под модулем меняет свой знак, т.е. при x=a).

f1'(x) = (x^2-10x+7a)' = 2x-10. Экстремум в точке x=5, и это точка минимума (производная меняет знак с отрицательного на положительный).
f2'(x) = (x^2+4x-7a)' = 2x+4. Экстремум в точке x=-2, и это тоже точка минимума.
Так что максимумов у функции нет. Следовательно, наибольшего значения функция f(x) может достичь только либо на одной из границ отрезка [-6;6], либо в точке x=a.

Если a < -6 или a > 6, то функция всегда принимает максимальное значение на одной из границ отрезка, поскольку особая точка лежит вне его.

Если a принадлежит [-6;6], то условие выполняется, когда справедливо хотя бы одно из неравенств:

(1): f2(-6)>=f(a) (значение функции в левой границе отрезка больше ее значения в особой точке)
(2): f1(6)>=f(a) (значение функции в правой границе отрезка больше ее значения в особой точке)

(1): 36-24-7a >= a^2-3a
a^2+4a-12 <= 0
a принадлежит [-6;2]

(2): 36-60+7a >= a^2-3a
a^2-10a+24 <=0
a принадлежит [4;6]

Таким образом, функция f(x) принимает своё наибольшее значение на отрезке [-6;6] при всех значениях a от минус бесконечности до 2 включительно и от 4 включительно до плюс бесконечности.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

a ? (–?;2]?[4;+?)

Добавил slava191, просмотры: ☺ 2053 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователелей

Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!
Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!

Написать комментарий

Последнии решения
B_(1)C_(1) ⊥ пл.С_(1)СDD_(1) ⇒ B_(1)C_(1) ⊥ DC_(1)
О т в е т. 90 градусов
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 32930
lim_(x→ 2 - 0) f(x)=lim_(x→ 2 - 0) 2^(1/(x-2))=2^(- ∞ )=0

im_(x→ 2 +0) f(x)=lim_(x→ 2 - 0) (3x+a)=3*2+a=6+a

Для непрерывности функции требуем, чтобы предел слева был равен пределу справа ( и значению функции в точке. Оно такое же как предел справа)
6+а=0
а=-6
[удалить]
✎ к задаче 32927
Найдем абсциссы точек переcечения графиков
4-x^2=3x;
x^2+3x-4=0
D=9+16=25
x=(-3-5)/2=-4; x=(-3+5)/2=1
S= ∫ ^(1)_(-4)((4-x^2)-(3x))dx=
=(4x-(x^3/3)-(3x^2/2))|^(1)_(-4)=
=4-(1/3)-(3/2)-(-16+(64/3)-24)=сосчитать
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 32929
7.
log_(5)5+log_(0,25)64=1+ log_(1/4)4^3=1+3log_(1/4)4=1+3*(-1)=-2;
16.
3+log_(2)6=3*log_(2)2+log_(2)6=log_(2)2^3+log_(2)6=log_(2)(8*6)=log_(2)48
log_(2)48/log_(2)48=1
18.
log_(6)81/log_(6)9=log_(9)81=2
Формула перехода к другому основания справа налево.
20.
log_(sqrt(8))64=4, так как ((sqrt(8))^2)^2=64
log^(2)_(sqrt(8))64=4^2=16
21.
9^(3log_(9)11)=9^(log_(9)11^(3))=11^(3)
основное логарифмическое тождество
22.
4^(log_(2)sqrt(3))=2^(2log_(2)sqrt(3))=2^(log_(2)(sqrt(3))^2)=(sqrt(3))^2=3
25.
log_(1/8)sqrt(8)=log_(8^(-1))8^(1/2)=(-1/2)log_(8)8=-1/2
26.
4^(log_(6)72)/4^(log_(6_2)= (a^(m):a^(n)=a^(m-n))=
4^(log_(2)72 - log_(2)6)=4^(log_(6)72/2)=4^(log_(6)36)=4^(2)=16
27.
log_(3)sqrt(5)/log_(3)5=log_(5)sqrt(5)=log_(5)5^(1/2)=(1/2)log_(5)5=
=(1/2)*1=(1/2)
28.
(a^(m))^(n)=a^(m*n)

(5^(log_(3)7))^(log_(7)3)=5^(log_(3)7 * log_(7)3)=5^(1)=5

cм формула перехода к другому основанию
log_(a)b=1/log_(b)a ⇒
[b]log_(a)b*log_(b)a=1[/b]
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 32924
замена переменной
3^(x)=t;
t>0
9^(x)=(3^(2))^(x)=(3^(x))^(2)=t^2
27^(x)=t^3
3^(2x+1)=3^(2x)*3=3t^2
3^(x+2)=3^(x)*3^(2)=9t

(t-3)^3/(2t-4) ≤ (t^3-6t^2+9t)(t-t^2+2);

Переносим все слагаемые влево, приводим к общему знаменателю, приводим подобные слагаемые

(t-3)^3/(2*(t-2))+((t-3)^2*t)/((t-2)(t+1)) ≤ 0

*(t-3)^2/(t-2))*((t-3)*(t+1)+2t)/(t+1)) ≤ 0

(t-3)^2*(t^2-3)/(2*(t-2)(t+1)) ≤ 0

Метод интервалов
_+__ [-sqrt(3)] __-__ (-1) __+_ [sqrt(3)] _-_(2) __+__ [3] ___+_

Учитывая, что t >0

t ∈ [sqrt(3);2) U{3}

Обратный переход

sqrt(3) ≤ 3^(x) < 2 или 3^(x)=3
(1/2) ≤ x < log_(3)2 или x=1

О т в е т. [1/2; log_(3)2) U {1}
[удалить]
✎ к задаче 32923