ЗАДАЧА 532 Найдите все значения а, при каждом из

УСЛОВИЕ:

Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции f(x)=x^2-7|x-a|-3x на отрезке [-6;6] принимает хотя бы на одном из концов этого отрезка.

РЕШЕНИЕ:

Для начала прикинем, как ведет себя функция на этом отрезке при изменении параметра a:

При x>a: f(x) = f1(x) = x^2-10x+7a
При x<a: f(x) = f2(x) = x^2+4x-7a
При x=a: f(x) = x^2-3x = a^2-3a

Функция может достигать максимального значения либо на границах отрезка, либо в точках максимума (если они есть), либо в особой точке (где выражение под модулем меняет свой знак, т.е. при x=a).

f1'(x) = (x^2-10x+7a)' = 2x-10. Экстремум в точке x=5, и это точка минимума (производная меняет знак с отрицательного на положительный).
f2'(x) = (x^2+4x-7a)' = 2x+4. Экстремум в точке x=-2, и это тоже точка минимума.
Так что максимумов у функции нет. Следовательно, наибольшего значения функция f(x) может достичь только либо на одной из границ отрезка [-6;6], либо в точке x=a.

Если a < -6 или a > 6, то функция всегда принимает максимальное значение на одной из границ отрезка, поскольку особая точка лежит вне его.

Если a принадлежит [-6;6], то условие выполняется, когда справедливо хотя бы одно из неравенств:

(1): f2(-6)>=f(a) (значение функции в левой границе отрезка больше ее значения в особой точке)
(2): f1(6)>=f(a) (значение функции в правой границе отрезка больше ее значения в особой точке)

(1): 36-24-7a >= a^2-3a
a^2+4a-12 <= 0
a принадлежит [-6;2]

(2): 36-60+7a >= a^2-3a
a^2-10a+24 <=0
a принадлежит [4;6]

Таким образом, функция f(x) принимает своё наибольшее значение на отрезке [-6;6] при всех значениях a от минус бесконечности до 2 включительно и от 4 включительно до плюс бесконечности.

ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
отправить + регистрация в один клик
опубликовать + регистрация в один клик

ОТВЕТ:

a ? (–?;2]?[4;+?)

Нужна помощь?

Опубликовать

Готовься с нами!

Готовишься к ЕГЭ по Математике? А почему не с нами?
Начать подготовку

Добавил slava191 , просмотры: ☺ 1670 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Только зарегистрированные пользователи могут писать свои решения.
Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

SOVA ✎ Составляем характеристическое уравнение системы: |(2- лямбда ). .(-2)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =0 |2. .(8- лямбда )| (2- лямбда )*(8- лямбда )+4=0 лямбда ^2-11 лямбда +28=0 лямбда _(1)=4 или лямбда_(2)=7 y(t)=C_(1)e^(4t)+ C_(2)e^(7t) x(t)=C_(3)e^(4t)+ C_(4)e^(7t) подставляем в первое уравнение 4С_(3)e^(4t)+7C_(4)e^(7t)=3*C_(3)e^(4t)+3C_(4)e^(7t)-2C_(1)e^(4t)-2C_(2)e^(7t) 4C_(3)=3C_(3)-2C_(1) 7C_(4)=3C_(4)-2C_(2) C_(3)=-2C_(1) C_(4)=-(1/2)C_(2) x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t) y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t) О т в е т. x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t) y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t) 2 способ {x`=3x-2y {y`=2x+8y ⇒ 2x=y`-8y ⇒ x=(y`-8y)/2 ⇒ x`=(y``-8y`)/2 Подставим х и x` в первое уравнение ((y``-8y`)/2=3*(y`-8y)/2-2y; y``-8y`=3y`-24y-4y; y``-11y`+28y=0 Получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Составляем характеристическое уравнение k^2-11k+28=0 D=121-4*28=9 k_(1)=(11-3)/2=4 или k_(2)=(11+3)/2=7 Общее решение однородного уравнения: y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t) Находим y`=4C_(1)e^(4t)+7C_(2)e^(7t) и подставляем y и y` в выражение для х х=(y`-8y)/2 x(t)=(4C_(1)e^(4t)+7C_(2)e^(7t)-8C_(1)e^(4t)-8C_(2)e^(7t))/2 x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2)С_(2)e^(7t) О т в е т. x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t) y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t) к задаче 27942

SOVA ✎ Составляем характеристическое уравнение системы: |(2- лямбда ). .(-2)| . . . . . . . . . . . .. . =0 |2. .(8- лямбда )| (2- лямбда )*(8- лямбда )+4=0 лямбда ^2-11 лямбда +28=0 лямбда _(1)=4 или лямбда_(2)=7 y(t)=C_(1)e^(4t)+ C_(2)e^(7t) x(t)=C_(3)e^(4t)+ C_(4)e^(7t) подставляем в первое уравнение 4С_(3)e^(4t)+7C_(4)e^(7t)=3*C_(3)e^(4t)+3C_(4)e^(7t)-2C_(1)e^(4t)-2C_(2)e^(7t) 4C_(3)=3C_(3)-2C_(1) 7C_(4)=3C_(4)-2C_(2) C_(3)=-2C_(1) C_(4)=-(1/2)C_(2) x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t) y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t) О т в е т. x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t) y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t) 2 способ {x`=3x-2y {y`=2x+8y ⇒ 2x=y`-8y ⇒ x=(y`-8y)/2 ⇒ x`=(y``-8y`)/2 Подставим х и x` в первое уравнение ((y``-8y`)/2=3*(y`-8y)/2-2y; y``-8y`=3y`-24y-4y; y``-11y`+28y=0 Получили линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами Составляем характеристическое уравнение k^2-11k+28=0 D=121-4*28=9 k_(1)=(11-3)/2=4 или k_(2)=(11+3)/2=7 Общее решение однородного уравнения: y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t) Находим y`=4C_(1)e^(4t)+7C_(2)e^(7t) и подставляем y и y` в выражение для х х=(y`-8y)/2 x(t)=(4C_(1)e^(4t)+7C_(2)e^(7t)-8C_(1)e^(4t)-8C_(2)e^(7t))/2 x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2)С_(2)e^(7t) О т в е т. x(t)=-2C_(1)e^(4t)-(1/2) C_(2)e^(7t) y(t)=C_(1)e^(4t)+C_(2)e^(7t) к задаче 27939

SOVA ✎ BD=AC=sqrt(3^2+4^2)=sqrt(25)=5 B_(1)B^2=B_(1)D^2-BD^2=(5sqrt(2))^2-5^2=25 B_(1)B=5 H=5 S(осн)=AB*BC=3*4=12 V=S(осн.)*H=12*5=60 S(бок)=Р(осн)*Н=(3+4+3+4)*5=70 к задаче 27940

SOVA ✎ к задаче 27937

u821511235 ✎ (3- sqrt(2))(5+ sqrt(2))-( sqrt(2)-1)=15-5 sqrt(2)+3 sqrt(2)-2- sqrt(2)+1=14-3 sqrt(2) к задаче 27934