Задача 53097 Найдите сумму значений параметра а, при...

5f4e19cc6a894c0287cf31f4

01.09.2020 14:08:10

Найдите сумму значений параметра а, при каждом из которых корни уравнения

х^3 - ах^2 + 2ах- 8 = 0

составляют целочисленную геометрическую прогрессию.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

01.09.2020 15:22:47

★

Пусть [m] x_{1}=b[/m]; [m] x_{2}=bq[/m]; [m] x_{3}=bq^2[/m], q≠ ± 1 три корня уравнения, образуют геометрическую прогрессию.

[m]x^3-ax^2+2ax-8=0[/m]

Тогда по теореме Виета:
[m] x_{1}\cdot x_{2} \cdot x_{3}=8[/m];
[m] b\cdot bq \cdot bq^2=8[/m];
[m] b^3q^3=8[/m]
[m] bq=2[/m]

Значит, [m] x_{2}=bq=2[/m].

Из равенства [m] bq=2[/m] ⇒ [m]b=\frac{2}{q}[/m] и значит, [m] x_{1}=b=\frac{2}{q}[/m].

По условию корни - целочисленные, значит, [m]q=-2;-1;1;2[/m]

Так как q≠ ± 1, остается два возможных значения для q

при q=2 получаем:
[m] x_{1}=1[/m]; [m] x_{2}=2[/m]; [m] x_{3}=4[/m]

тогда по теореме Виета
[m] x_{1}+ x_{2}+ x_{3}=1+2+4=7[/m]


при q=-2 получаем:
[m]a= x_{1}=-1[/m]; [m] x_{2}=2[/m]; [m] x_{3}=-4[/m]

тогда по теореме Виета
[m] x_{1}+ x_{2}+ x_{3}=-1+2-4=-3[/m]

О т в е т. [m] -3; 7 [/m]