Задача 53095 Решите уравнение lg(x-2)*|tgx| =tgx. В...

5f4e19cc6a894c0287cf31f4

01.09.2020 13:29:30

Решите уравнение

lg(x-2)*|tgx| =tgx.

В ответе укажите наименьший корень этого уравнения, удовлетвори ющи й неравенству

х^2 - 10x - 24 < 0.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

01.09.2020 15:04:46

★

ОДЗ:
x-2 >0
cosx ≠ 0

Если tgx ≥ 0, т.е. x в 1 и 3 четверти ,
то |tgx|=tgx
Уравнение принимает вид:
lg(x-2)*tgx=tgx
tgx -lg(x-2)*tgx=0
tgx*(1-lg(x-2))=0
tgx=0 или 1-lg(x-2)=0 ⇒ lg(x-2)=1 ⇒ lg(x-2)=lg10

[b]x=πk, k ∈ Z[/b] или x-2=10 ⇒ [b]x=12[/b]


с учетом ОДЗ: x > 2 ⇒ [b]x=πk, k ∈ N [/b] или [b] x=12[/b]


Если tgx < 0, т.е. x во 2 и 4 четверти ,
то |tgx|=-tgx
Уравнение принимает вид:
lg(x-2)*(-tgx)=tgx
tgx +lg(x-2)*tgx=0
tgx*(1+lg(x-2))=0
tgx=0 или 1+lg(x-2)=0 ⇒ lg(x-2)=-1 ⇒ lg(x-2)=lg0,1

[b]x=πk, k ∈ Z[/b] или x-2=0,1 ⇒ [b]x=2,1[/b]

с учетом ОДЗ: x > 2 ⇒ [b]x=πk, k ∈ N [/b] или [b] x=2,1[/b]

Решаем неравенство:
x^2-10x-24 <0
D=100-4*(-24)=196
x_(1)=-2; x_(2)=12

-2 < x < 12

Интервалу (-2;12) принадлежат корни:
[b] x=2,1[/b]
и
при k=1
x=π
при k=2
x=2π
при k=3
x=3π

О т в е т. 2,1; π; 2π; 3π.