Задача 53075 Решите дифференциальные уравнения и...
Условие
a) y''=3+cos2x-2x, y = 1/4, y'=0 при x=0
б) (1-x^2)dy+xydx = 0, y=4 при x=0
Решение
y``=3+cos2x-2x
y`= ∫ y``(x)dx=3x+(1/2)sin2x-x^2+C_(1)
y= ∫ y`(x)dx= ∫ (3x+(1/2)sin2x-x^2+C_(1))dx=(3x^2/2)-(1/4)cos2x-(x^3/3)+C_(1)x+C_(2)
Чтобы найти C_(1) и С_(2)
подставляем начальные условия:
При x=0
y(0)=1/4 ⇒ 1/4=(3*0^2/2)-(1/4)cos0-(^3/3)+C_(1)0 +C_(2) ⇒ C_(2) =1/2
y`(0)=0 ⇒ 0= 3*0+(1/2)sin0-0^2+C_(1) ⇒ C_(1)=0
y=(3x^2/2)-(1/4)cos2x-(x^3/3)+(1/2)
2)
Уравнение с разделяющимися переменными.
Делим на (1-x^2)*y
dy/y=-x/(1-x^2)
Интегрируем:
∫ dy/y=- ∫ x/(1-x^2)
ln|y|=(1/2)ln(1-x^2)+lnC
[b]y=C*sqrt(1-x^2)[/b] - общее решение
y(0)=4
4=C*sqrt(1-0)
C=4
[b]y=4sqrt(1-x^2)[/b]- частное решение