Задача 53068 Строительство нового завода стоит 75 млн...

5f282cfba9074b3a3bc0f013

25.08.2020 16:12:44

Строительство нового завода стоит 75 млн рублей. Затраты на производство x тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5x^2+ x + 7 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене p тыс.рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px−(0,5x^2+x+7).

Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более чем за 3 года?

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.08.2020 16:12:44

Чтобы получить за такую задачу наибольшее количество баллов следует учесть, что условие задачи " не менее" подразумевает [red]составление неравенства[/red].

За три года прибыль составит:
3•( рх–(0,5х²+х+7)).
Так как за это время должно окупиться строительство нового цеха, то эта прибыль должна быть [red]не менее [/red]75 млн. руб.

Составим [red]неравенство[/red]:

3•( рх–(0,5х²+х+7)) ≥ 75.

Запишем неравенство для р:
рх–(0,5х²+х+7) ≥ 25;
рх–0,5х²-х-7 ≥ 25;
рх≥0,5х²+х+7+25.
Так как [b]x > 0[/b], то

р≥(0,5х)+1+(32/х) .
Найдем наименьшее значение р(x)=0,5х+2+(32/х).

Применяем производную.
р`(x)=(0,5х+4+(32/x) )'=0,5–(32/x²).
р`=0.

Найдем критические точки: 0,5– (32/x²) =0.
х=8 или х=–8(отрицательное значение не удовл. условию, х – натуральное число).

x=8 - точка[red] минимума,[/red] так как при переходе через точку производная меняет знак с - на +:
p(7)=0,5-(32/49)=(49-64)/98 < 0
p(9)=0,5-(32/81)=(81-64)/81> 0
Вычислим [red]наименьшее[/red] значение р при х=8
р(8) = 0,5∙8+1+(32/8) = 9
О т в е т.[b] р=9.[/b]