Задача 53063 Найдите сумму корней sqrt(1-cos^2x)/sinx...
Условие
Решение
ОДЗ: [m]\left\{\begin{matrix} 1-cos^2x \geq 0
\\ sinx \neq 0\end{matrix}\right.[/m]
так как [m] 1-cos^2x =sin^2x [/m] и [m] sin^2x\geq 0[/m], то
ОДЗ уравнения: [m]sinx \neq 0[/m]
Так как [m]\sqrt{1-cos^2x}=\sqrt{sin^2x}=|sinx|[/m]
уравнение можно переписать так:
[m]\frac{|sinx|}{sinx}=1-cos2x[/m]
Раскрываем знак модуля:
[m]\left\{\begin{matrix} sinx> 0
\\ 1=1-cos2x\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix} sinx< 0
\\ -1=1-cos2x\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} sinx> 0
\\ cos2x=0\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix} sinx< 0
\\ cos2x=2\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} sinx> 0
\\ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z\end{matrix}\right.[/m] или второе уравнение не имеет корней,
так как[m]|sin2x|\leq 1[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} sinx> 0
\\ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k \in Z\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix} sinx> 0
\\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k, k \in Z\end{matrix}\right.[/m]
Первому неравенству удовлетворяют только
[m]x=\frac{\pi}{4}+2\pi k, k \in Z[/m] и [m]x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n, n \in Z [/m] они и будут корнями данного уравнения.
Указанному отрезку принадлежат корни:
[m]x=\frac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{7\pi}{4}=-315^{o} [/m]
[m]x=\frac{\pi}{4}=45^{o}[/m]
[m]x=\frac{\pi}{4}+2\pi =\frac{9\pi}{4}=405^{o}[/m]
и
[m]x=\frac{3\pi}{4}=135^{o}[/m]
О т в е т:
-315 ° ;45 ° ;135 ° ; 405 °
