Задача 53062 1) y''+3y'-10y=0; y(0)=1; y'(0)=0 2)...
Условие
2) y''+24y'+144y = 0
3) y''-6y'+13y=0
4) y''+6y=0
Решение
1)
y''+3y'-10y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+3k-10=0
D=9+40=49
k_(1)=-5; k_(2)=2 - корни действительные различные,
поэтому [b]общее решение однородного уравнения[/b] с постоянными коэффициентами имеет вид:
y=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(2x) - общее решение однородного уравнения
Чтобы решить задачу Коши найти решение, удовлетворяющее условиям:
y(0)=1; y`(0)=0
Находим
y`=-5C(1)e^(-5x)+2C_(2)e^(2x)
И составляем систему уравнений:
[m]\left\{\begin{matrix}1=C_{1}e^{-5\cdot 0}+C_{2}e^{2\cdot 0}
\\ 0=-5C{1}e^{-5\cdot 0}+2C_{2}e^{2\cdot 0} \end{matrix}\right.[/m]
так как [m]e^{0}=1[/m],
то[m]\left\{\begin{matrix}1=C_{1}+C_{2}
\\ 0=-5C{1}+2C_{2} \end{matrix}\right.[/m]
Умножаем первое на 5 и складываем:
[m]7C_{2}=5[/m] ⇒
[m]C_{2}=\frac{5}{7}[/m] и [m]C_{1}=1-C_{2}=1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7}[/m]
О т в е т. y=C_(1)e^(-5x)+C_(2)e^(2x) - общее решение однородного уравнения
y=[m]\frac{2}{7}[/m] e^(-5x)+[m]\frac{5}{7}[/m]e^(2x) - решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y(0)=1; y`(0)=0
2)
y''+24y'+144y=0 ⇒ k^2+24k+144=0 ⇒ (k+12)^2=0 ⇒ k_(1,2)=-12
y=C_(1)e^(-12x)+C_(2)*[b]x[/b]*e^(-12x) - общее решение однородного уравнения
3)
y''-6y'+13y=0 ⇒ k^2-6k+13=0 ⇒ D=36-52=-16
sqrt(-16)=sqrt(16*(-1))=4sqrt(-1)=4i
⇒ k_(1)=(6-4i)/2=[b]3-2i[/b]; k_(2)=6+4i)/2=[b]3+2i[/b] - корни комплексные
α =3; β =2
y=[m]e^{3x}(C_(1)cos2x+C_(2)sin2x)[/m]- общее решение однородного уравнения
4)
y''+6y=0 ⇒ k^2+6=0 ⇒ ⇒ k_(1,2)= ± i*sqrt(6)- корни комплексные
α =0; β =sqrt(6)
y=C_(1)cos [b]sqrt(6)x[/b]+C_(2)sin [b]sqrt(6)x[/b] - общее решение однородного уравнения