✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 528 Число P равно произведению 11 различных

УСЛОВИЕ:

Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P?

РЕШЕНИЕ:

Любое натуральное число N представимо в виде произведения
N = (p1^k1)*(p2^k2)*... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.

Например,
15 = (3^1)*(5^1)
72 = 8*9 = (2^3)*(3^2)

Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1+1)*(k2+1)*...

Итак, по условию, P = N1*N2*...*N11, где
N1 = (p1^k[1,1])*(p2^k[1,2])*...
N2 = (p1^k[2,1])*(p2^k[2,2])*...
...,
а это значит, что
P = (p1^(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]))*(p2^(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]))*...,

и общее количество натуральных делителей числа P равно

(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]+1)*...

Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p^2, ... N11 = p^11.

То есть, например,
N1 = 2^1 = 2,
N2 = 2^2 = 4,
N3 = 2^3 = 8,
...
N11 = 2^11 = 2048.

Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1+(1+2+3+...+11) = 67.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

67

Добавил slava191, просмотры: ☺ 2473 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 43566
Область определения (4;+ ∞ )

y`=1/(x-4) - 4

y` = 0

1/(x-4) - 4 =0

(1-4x+16)/(x-4)=0

1-4x+16=0

x=17/4


(4) _ +__ (17/4) __-__


x=17/4 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
✎ к задаче 43563
y`=x^2-9

y`=0

x^2-9=0

x= ± 3


_+__ (-3) _-__ (3) _+__


x=-3 - точка максимума

х=3 - точка минимума.

Наиб и наим нет. См график

Есть значения, которые больше чем в точке максимума и меньше чем в точке минимума.

Поэтому можно говорить о наибольшем и наименьшем значении на отрезке. Отрезок не задан
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 43560
Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решаем однородное:
y''+36y=0

Составляем характеристическое уравнение:
λ^2+36=0


λ _(1,2)= ± 6i

– корни комплексные

α=0 β=6

Общее решение однородного имеет вид:

y_(одн.)=e^(αx)*(С_(1)*cosβх+C_(2)*sinβx)

В данном случае

y_(одн.)=e^(0)*(С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x)

y_(одн.)=С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x




частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=(ax+b)*e^(x)


Находим производную первого, второго порядка

y`_(част)=a*e^(x)+(ax+b)*e^(x)=e^(x)*(ax+a+b)

y``_(част)=e^(x)*(ax+a+b)+e^(x)*(a)=e^(x)*(ax+2a+b)


подставляем в данное уравнение:

e^(x)*(ax+2a+b)+36*(ax+b)*e^(x) = x e^(x)

сокращаем на e^(x)
ax+2a+b+ax+b=x

2a=1 ⇒ a=1/2

2a+2b=0 ⇒ a=-b ⇒ b=-a=-1/2

y_(част)=((1/2)x-(1/2))*e^(x)

О т в е т.
y=y_(одн)+y_(част)=С_(1)*cos6x+C_(2)*sin6x+((1/2)x-(1/2))*e^(x)



✎ к задаче 43561
y`=6*(-sinx)+3sqrt(3)

y`=0

6*(-sinx)+3sqrt(3)=0

sinx=sqrt(3)/2

x=(-1)^(k)*(π/3)+πk, k ∈ Z

отрезку [0;π/2] принадлежит x= (π/3)

[0] __+__ (π/3) __-_ [π/2]

х=π/3 - точка максимума, значит в этой точке наибольшее значение на отрезке

О т в е т. y(π/3)= 6*cos(π/3)+3sqrt(3)*(π/3)-sqrt(3)*π+8=6*(1/2)+8=[b]11[/b]
✎ к задаче 43562