ЗАДАЧА 528 Число P равно произведению 11 различных

УСЛОВИЕ:

Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P?

РЕШЕНИЕ:

Любое натуральное число N представимо в виде произведения
N = (p1^k1)*(p2^k2)*... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.

Например,
15 = (3^1)*(5^1)
72 = 8*9 = (2^3)*(3^2)

Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1+1)*(k2+1)*...

Итак, по условию, P = N1*N2*...*N11, где
N1 = (p1^k[1,1])*(p2^k[1,2])*...
N2 = (p1^k[2,1])*(p2^k[2,2])*...
...,
а это значит, что
P = (p1^(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]))*(p2^(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]))*...,

и общее количество натуральных делителей числа P равно

(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]+1)*...

Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p^2, ... N11 = p^11.

То есть, например,
N1 = 2^1 = 2,
N2 = 2^2 = 4,
N3 = 2^3 = 8,
...
N11 = 2^11 = 2048.

Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1+(1+2+3+...+11) = 67.
ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
отправить + регистрация в один клик
опубликовать + регистрация в один клик

ОТВЕТ:

67

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил slava191 , просмотры: ☺ 1479 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Только зарегистрированные пользователи могут писать свои решения.
Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

vk141350086 ✎ 87–а=19 +28 -а=47-87 -а=-40 а=40 Ответ: 40 к задаче 19832

vk141350086 ✎ Биологические характеристики, а вариантов нет? Вроде так должно быть к задаче 19842

vk141350086 ✎ 1/ (5^x + 31) ≤ 4/(5*5^x - 1); 5^x = t > 0; введем новую переменную, пусть будет t 1/(t + 31) ≤ 4/(5t - 1); 1/(t+31) - 4 / (5t - 1) ≤ 0; подставили t, теперь приведем к общему знаменателю. (5t - 1 -4(t+31)) / (t+31)*(5t-1) ≤ 0; (5 t - 1 - 4 t - 124) / (t+31)*(5t - 1) ≤ 0; (t - 125) /(t+31)(5t-1) ≤ 0; находим нули числителя и знаменателя. Решаем методом интервалов, Точку х = 125 закрашиваем, точки х= - 31 и х = 1/5 пустые. t = 125; t = - 31; t = 1/5. - + - + ____(-31)_____(1/5)_______[125]_______t Так как по условию t > 0 (показательная функция; ⇒ 1/5 < t ≤ 125; 1/5 < 5^x ≤ 125; 5^(-1) < 5^x ≤ 5^3; 5 > 1; ⇒ - 1 < x ≤ 3. Ответ х ∈( - 1; 3]. Можно конечно иначе, но там считать вручную сложнее.Этот метод на мой взгляд проще. к задаче 7214

slava191 ✎ log3 x = log7 sqrt(81)*2 log3 x = log7 18 x = 3^(log7 18) к задаче 19825

u8083234255 ✎ к задаче 19824