ЗАДАЧА 528 Число P равно произведению 11 различных

УСЛОВИЕ:

Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P?

РЕШЕНИЕ:

Любое натуральное число N представимо в виде произведения
N = (p1^k1)*(p2^k2)*... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.

Например,
15 = (3^1)*(5^1)
72 = 8*9 = (2^3)*(3^2)

Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1+1)*(k2+1)*...

Итак, по условию, P = N1*N2*...*N11, где
N1 = (p1^k[1,1])*(p2^k[1,2])*...
N2 = (p1^k[2,1])*(p2^k[2,2])*...
...,
а это значит, что
P = (p1^(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]))*(p2^(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]))*...,

и общее количество натуральных делителей числа P равно

(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]+1)*...

Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p^2, ... N11 = p^11.

То есть, например,
N1 = 2^1 = 2,
N2 = 2^2 = 4,
N3 = 2^3 = 8,
...
N11 = 2^11 = 2048.

Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1+(1+2+3+...+11) = 67.
ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
отправить + регистрация в один клик
опубликовать + регистрация в один клик

ОТВЕТ:

67

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил slava191 , просмотры: ☺ 1580 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Только зарегистрированные пользователи могут писать свои решения.
Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

slava191 ✎ Это парабола, ветви вверх. У неё одна точка экстремума, точка 0. Там она достигнет своего наименьшего значения. На отрезке от -1 до 0, наибольшее значение она примет в точке -1. y(-1) = 4 Ответ 4 к задаче 24067

slava191 ✎ F1 + Fтр = F4 Fтр = F4-F1 к задаче 24068

SOVA ✎ Два фиксированных человека могут занять места с 1 по (n-2) Один на первом месте, второй на третьем, один на втором, второй на четвертом, ... один на (n-2)-ом, другой на n-ом. 2*(n-2) способов, так как эти фиксированные люди могут меняться местами. Остальных (n-2) человек можно разместить на (n-2) мест (n-2)! способами p=2*(n-2)*(n-2)!/n!=2*(n-2)/n*(n-1) к задаче 24116

slava191 ✎ По закону Ома I = U/R, тогда R = U/I = 150/0.01 = 15000 Ом к задаче 24090

slava191 ✎ И? Вопроса то нет... к задаче 24095