✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 528 Число P равно произведению 11 различных

УСЛОВИЕ:

Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P?

РЕШЕНИЕ:

Любое натуральное число N представимо в виде произведения
N = (p1^k1)*(p2^k2)*... и т.д.,
где p1, p2 и т.д. - простые числа, а k1, k2 и т.д. - целые неотрицательные числа.

Например,
15 = (3^1)*(5^1)
72 = 8*9 = (2^3)*(3^2)

Так вот, общее количество натуральных делителей числа N равно
(k1+1)*(k2+1)*...

Итак, по условию, P = N1*N2*...*N11, где
N1 = (p1^k[1,1])*(p2^k[1,2])*...
N2 = (p1^k[2,1])*(p2^k[2,2])*...
...,
а это значит, что
P = (p1^(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]))*(p2^(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]))*...,

и общее количество натуральных делителей числа P равно

(k[1,1]+k[2,1]+...+k[11,1]+1)*(k[1,2]+k[2,2]+...+k[11,2]+1)*...

Это выражение принимает минимальное значение, если все числа N1...N11 являются последовательными натуральными степенями одного и того же простого числа, начиная с 1: N1 = p, N2 = p^2, ... N11 = p^11.

То есть, например,
N1 = 2^1 = 2,
N2 = 2^2 = 4,
N3 = 2^3 = 8,
...
N11 = 2^11 = 2048.

Тогда количество натуральных делителей числа P равно
1+(1+2+3+...+11) = 67.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

67

Добавил slava191, просмотры: ☺ 2303 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38958
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38937
ОДЗ:
{x+3>0 ⇒ x > - 3
{x+3 ≠ 1 ⇒ x ≠ - 2
{(1+x^2)/(1-x^2)>0 ⇒ 1-x^2 > 0 ⇒ -1 < x < 1

x ∈(–1;1)


Так как
0=log_(x+3)1

Неравенство принимает вид:
log_(x+3)(1+x^2)/(1-x^2) > log_(x+3)1

При x ∈(–1;1) ,
2<x+3<4
логарифмическая функция возрастает, тогда
(1+x^2)/(1-x^2) > 1

(1+x^2)/(1-x^2) - 1 > 0

(1+x^2-1+x^2)/(1-x^2) > 0
2x^2/(1-x^2) >0

x ≠ 0
x ∈ (–1;0)U(0;1)

C учетом ОДЗ получаем ответ:

[b](-1;0) U(0;1)[/b]
[удалить]
✎ к задаче 38964
ОДЗ:
{x-2>0 ⇒ x >2
{x- 2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3
{3x-x^2>0 ⇒ x(3-x) > 0 ⇒ 0 < x < 3


[b]x ∈(2;3) [/b]


Так как
2=log_(x-2)(x-2)^2

Неравенство принимает вид:
log_(x-2)(3x-x^2) [b] ≤[/b] log_(x-2)(x-2)^2

так как при x ∈(2;3)
0<x-2<1, логарифмическая функция убывает, тогда
3x-x^2 [b]≥[/b] (x-2)^2

3x-x^2 ≥ x^2-4x+4

2x^2-7x+4 ≤ 0

D=49-4*2*4=17

корни x_(1)=(7-sqrt(17))/4; х_(2)=(7+sqrt(17))/4

[b]x ∈( (7-sqrt(17))/4; (7+sqrt(17))/4 )[/b]

(7+sqrt(17))/4 < 3
так как
7+sqrt(17) < 12
sqrt(17) < 5

C учетом ОДЗ получаем ответ:
[b](2;(7+sqrt(17))/4 )[/b]
[удалить]
✎ к задаче 38963
ОДЗ:
{0,25x^2>0 ⇒ x ≠ 0
{0,25x^2 ≠ 1 ⇒ x ≠ ± 2
{(x+6)/4>0 ⇒ x>-6

[b]x ∈(-6;-2)U(-2;0)U(0;2)U(2;+ ∞ ) [/b]


Так как
1=log_(0,25x^2)0,25x^2

Неравенство принимает вид:
log_(0,25x^2)(x+6)/4 ≤ log_(0,25x^2)0,25x^2

[b]Если[/b]
0,25x^2>1, логарифмическая функция возрастает, тогда
(х+6)/4 ≤ 0,25x^2

[b]Если[/b]
0<0,25x^2<1, логарифмическая функция убывает, тогда
(х+6)/4 ≥ 0,25x^2

Решаем первую систему:
{0,25x^2>1 ⇒ x^2>4 ⇒ (- ∞ ;-2)U(2;+ ∞ )
{x+6-x^2 ≤ 0 ⇒ x^2-x-6 ≥ 0 D=25; корни -2 и 3 ⇒ (- ∞ ;-2]U[3;+ ∞ )

[b]x ∈ (- ∞ ;-2)U[3;+ ∞ )[/b]

Решаем вторую систему:
{0< 0,25x^2<1 ⇒ 0<x^2<4 ⇒ (-2;0)U(0;2)
{x+6-x^2 ≥ 0 ⇒ x^2-x-6 ≤ 0 D=25; корни -2 и 3 ⇒ [-2;3]

[b]x ∈ (-2;0)U(0;2)[/b]

C учетом ОДЗ получаем ответ:
[b](-6;-2)U(-2;0)U(0;2)U[3;+ ∞ )[/b]
[удалить]
✎ к задаче 38962