ЗАДАЧА 526 Среднее арифметическое трёх натуральных

УСЛОВИЕ:

Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.

РЕШЕНИЕ:

Пусть искомые числа — a, b и с.
Мы знаем, что
(a+b+c)/3 = 4*(1/a+1/b+1/c)/3 (1)
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abc
Домножим обе части на abc:
a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4ac
В свою очередь, это выражение можно записать так:
(c2-4)ab + (b2-4)ac + (a2-4)bc = 0 (2)
Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:
а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,
б) либо чтобы все они были равны нулю.

Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то есть
a = b = c = 2
Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4

Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.
Тогда равенство (2) принимает вид:
(c2-4)-3с-3с=0
c2-6с-4=0
Это уравнение не имеет решений в целых числах.

Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль, то есть, скажем, a=1, b=2
Тогда равенство (2) принимает вид:
2(c2-4)-6с=0
c2-3c-4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.
Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4

Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме (1, 2, 4) отсутствуют.
Для этого положим в равенстве (1) a=1:
(1+b+c)/3 = 4*(1+1/b+1/c)/3

Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается, а вторая уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно уменьшаться.
Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара (b=3,c=3) ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.
ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
отправить + регистрация в один клик
опубликовать + регистрация в один клик

ОТВЕТ:

(2,2,2) и (1,2,4)

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил slava191 , просмотры: ☺ 1168 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Только зарегистрированные пользователи могут писать свои решения.
Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

slava191 ✎ к задаче 19729

slava191 ✎ [link=https://www.youtube.com/watch?v=cc48K6vU3aI] к задаче 19725

slava191 ✎ 4 штуки сделал ! к задаче 19724

vk35978205 ✎ фукус пузырчатый фотосинтезирует, тк это водоросли кладония тоже фотоситезирует, тк это лишайник, в состав которого входит водоросль фитофтора и опенок грибы -не фотосинтезируют к задаче 19721

vk132882876 ✎ Ни х¥я вы умные. А вас не смутило что в прямоугольном треугольнике СМВ катет = 3 а гипотенуза 2? к задаче 18113