✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 526 Среднее арифметическое трёх натуральных

УСЛОВИЕ:

Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.

РЕШЕНИЕ:

Пусть искомые числа — a, b и с.
Мы знаем, что
(a+b+c)/3 = 4*(1/a+1/b+1/c)/3 (1)
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abc
Домножим обе части на abc:
a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4ac
В свою очередь, это выражение можно записать так:
(c2-4)ab + (b2-4)ac + (a2-4)bc = 0 (2)
Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:
а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,
б) либо чтобы все они были равны нулю.

Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то есть
a = b = c = 2
Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4

Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.
Тогда равенство (2) принимает вид:
(c2-4)-3с-3с=0
c2-6с-4=0
Это уравнение не имеет решений в целых числах.

Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль, то есть, скажем, a=1, b=2
Тогда равенство (2) принимает вид:
2(c2-4)-6с=0
c2-3c-4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.
Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4

Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме (1, 2, 4) отсутствуют.
Для этого положим в равенстве (1) a=1:
(1+b+c)/3 = 4*(1+1/b+1/c)/3

Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается, а вторая уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно уменьшаться.
Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара (b=3,c=3) ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

(2,2,2) и (1,2,4)

Добавил slava191, просмотры: ☺ 1921 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 52870
Вычитаем из первого уравнения второе:

y-x=(a+3)(x^2-y^2)+(2a+1)(x-y)

x-y+(a+3)(x-y)(x+y)+(2a+1)(x-y)=0

(x-y)*((a+3)(x+y)+(2a+2))=0

x-y=0 или (a+3)(x+y)+(2a+1)=0

y=x или (a+3)x+(a+3)y+(2a+1)=0


Подставляем y=x в любое уравнение данной системы:

x=(a+3)x^2+(2a+1)+a

(a+3)x^2+(2a)x+a=0

При [b]a=-3[/b] уравнение принимает вид: -6х-3=0 ⇒ [b] x=-1/2 [/b] - [b]одно[/b] решение [b]y=x=-1/2[/b]


a ≠ -3
D=(2a)^2-4(a+3)*a=4a^2-4a^2-12a=-12a

Если D=0 квадратное уравнение имеет один корень
D=0 ⇒ -12a=0 ⇒ [b]a=0[/b]

[b]При а=0[/b] cистема принимает вид:

{y=3x^2+x
{x=3y^2+y

Cистема имеет одно решение [b]x=0; y=0[/b]

ИЛИ

(a+3)x+(a+3)y+(2a+1)=0 ⇒ 2а+1=-(а+3)х-(a+3)y

подставим в первое уравнение:

y=(a+3)x^2-((а+3)х+(a+3)y*)x+a ⇒

y=-(a+3)xy+a

[b]y((a+3)x+1)=a[/b]
...
✎ к задаче 52868
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 52865
Если выплаты 2030 и 2031 года равные, то

A=338 000/2=169 000,

уравнение принимает вид:

169 000+1,3·(1,3S–169 000)=338 000 ⇒

1,69·S=2,3·169 000 ⇒

S=230 000

Cумма выплат: 0,3S+0,3S+0,3S+338 000= 0,9·230 000+338 000=

545 000

(прикреплено изображение)
✎ к задаче 52860
Пусть сумма кредита равна S руб.

В январе 2021 года начислены проценты: 0,35*S руб.
Сумма долга составила S + 0,35S=1,35*S руб
Пусть ежегодные [i] равные[/i] выплаты равны А руб.

[b](1,35*S- A )[/b] руб. -[i] остаток[/i] на конец первого года

В январе 2022 года начислены проценты [i]на остаток[/i]:
0,35*(1,35*S-А) руб.

Сумма долга составила (1,35*S- A )+0,35*(1,35*S-А)=
[b]1,35*(1,35*S-А) руб[/b]

(1,35*(1,35*S- A ) - А ) =(1,35^2*S-1,35*A-A) руб.- остаток на конец второго года
Аналогично получаем:

1,35*(1,35^2*S-1,35*A-A) -А= (1,35^3*S-1,35^2*A-1,35*A-A) руб. - остаток на конец третьего года, который по условию равен 0 ( кредит выплачен)

Уравнение:
[b]1,35^3*S-1,35^2*A-1,35*A-A=0[/b]

Условие "общая сумма выплат на 78 030 рублей больше суммы, взятой в кредит" позволяет составить второе уравнение:

[b]3А=S+78030[/b]

Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными S и А:

\left\{\begin{matrix} 1,35^3\cdot S-1,35^2\cdot A-1,35\cdot A-A=0\\ 3A=S+78030 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 1,35^3\cdot S-(1,35^2+1,35+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0\\ A=\frac{S}{3}+26010 \end{matrix}\right.

Удобнее считать в обычных дробях:

1,35=\frac{135}{100}=\frac{27}{20}

Решаем первое уравнение:

\frac{27^3}{20^3}\cdot S-(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0

\frac{27^3}{20^3}\cdot S-(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot \frac{S}{3}=(\frac{27^2}{20^2}+\frac{27}{20}+1)\cdot 26010

S\cdot (\frac{27^3}{20^3}-\frac{1669}{400}\cdot \frac{1}{3})=\frac{1669}{400}\cdot 26010

S\cdot \frac{59049-33380}{20^3\cdot 3}=\frac{1669}{400}\cdot 26010

S\cdot 25669=1669\cdot 60\cdot 26010


[b]Для случая 30% :[/b]



Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными S и А:

\left\{\begin{matrix} 1,3^3\cdot S-1,3^2\cdot A-1,3\cdot A-A=0\\ 3A=S+78030 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 1,3^3\cdot S-(1,3^2+1,3+1)\cdot (\frac{S}{3}+26010)=0\\ A=\frac{S}{3}+26010 \end{matrix}\right.

Решаем первое уравнение:

2,197\cdot S-3,99\cdot\frac{S}{3}=3,99\cdot 26010

(2,197-1,33)\cdot S=3,99\cdot 26010

0,867\cdot S=3,99\cdot 867\cdot 30

S=\frac{3,99\cdot 30\cdot 0,867\cdot 1000}{0,867}=119 700 руб.

✎ к задаче 52865