✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 526 Среднее арифметическое трёх натуральных

УСЛОВИЕ:

Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.

РЕШЕНИЕ:

Пусть искомые числа — a, b и с.
Мы знаем, что
(a+b+c)/3 = 4*(1/a+1/b+1/c)/3 (1)
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abc
Домножим обе части на abc:
a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4ac
В свою очередь, это выражение можно записать так:
(c2-4)ab + (b2-4)ac + (a2-4)bc = 0 (2)
Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:
а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,
б) либо чтобы все они были равны нулю.

Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то есть
a = b = c = 2
Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4

Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.
Тогда равенство (2) принимает вид:
(c2-4)-3с-3с=0
c2-6с-4=0
Это уравнение не имеет решений в целых числах.

Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль, то есть, скажем, a=1, b=2
Тогда равенство (2) принимает вид:
2(c2-4)-6с=0
c2-3c-4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.
Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4

Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме (1, 2, 4) отсутствуют.
Для этого положим в равенстве (1) a=1:
(1+b+c)/3 = 4*(1+1/b+1/c)/3

Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается, а вторая уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно уменьшаться.
Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара (b=3,c=3) ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

(2,2,2) и (1,2,4)

Добавил slava191, просмотры: ☺ 1564 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователелей

Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!
Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!

Написать комментарий

Последнии решения
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 33772
продолжение, начало в приложении
=-5х^2_(1)-8x_(1)x_(2)-3x_(1)x_(3)-8x_(1)x_(2)+8x^2_(2)+6x_(2)x_(3)-3x_(1)x_(3)+6x-92)x_(3)-6x_(3)^3
приводим подобные и получим все необходимые коэффициенты
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 33773
1/(х+5) < 1/3

1/(х+5) - 1/3 < 0

(3 - x - 5) /(3*(x+5)) < 0

(-х-2)/(3*(x+5)) < 0

(х+2)/(3*(x+5)) > 0

__+__ (-5) _-__ (-2) __+_

Отрезку [-7;0] принадлежат целочисленные корни :
-7;-6; -1; 0

Cумма
-7-6-1=-14

О т в е т. -14
[удалить]
✎ к задаче 33775
6a
По частям
u=ln(1-2x)
dv=dx
du=(-2)dx/(1-2x)=2dx/(2x-1)
v=x

=u*v- ∫ v*du=x*ln(1-2x) - ∫ 2xdx/(2x-1)=

(искусственный прием, прибавить и отнять)

=x*ln(1-2x) - ∫ (2x-1+1)dx/(2x-1)=

=x*ln(1-2x) - ∫ dx - ∫ dx/(2x-1)=

=x*ln(1-2x) - x - (1/2)ln|2x-1| + C


По частям
u=x
dv=5^(-4x)dx
du=dx
v= ∫ 5^(-4x)dx=[замена (-4х)=t; x=(-1/4)t; dx=(-1/4)dt]= (-1/4)∫ 5^(t)dt=
=(-1/4)* 5^(t)/ln5=5^(-4x)/(-4ln5)

u*v- ∫ v*du=(x*5^(-4x))/(-4ln5) - ∫ 5^(-4x)dx/(-4ln5)=

=(x*5^(-4x))/(-4ln5) + (1/(4ln5))∫ 5^(-4x)dx=

=(x*5^(-4x))/(-4ln5) + (1/(4ln5)) * (5^(-4x)/(-4ln5)) + C=


=- (5^(-4x)/(4ln5))*(x + (1/(4ln5))) + C
[удалить]
✎ к задаче 33771
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 33744