✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 526 Среднее арифметическое трёх натуральных

УСЛОВИЕ:

Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.

РЕШЕНИЕ:

Пусть искомые числа — a, b и с.
Мы знаем, что
(a+b+c)/3 = 4*(1/a+1/b+1/c)/3 (1)
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abc
Домножим обе части на abc:
a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4ac
В свою очередь, это выражение можно записать так:
(c2-4)ab + (b2-4)ac + (a2-4)bc = 0 (2)
Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:
а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,
б) либо чтобы все они были равны нулю.

Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то есть
a = b = c = 2
Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4

Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.
Тогда равенство (2) принимает вид:
(c2-4)-3с-3с=0
c2-6с-4=0
Это уравнение не имеет решений в целых числах.

Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль, то есть, скажем, a=1, b=2
Тогда равенство (2) принимает вид:
2(c2-4)-6с=0
c2-3c-4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.
Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4

Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме (1, 2, 4) отсутствуют.
Для этого положим в равенстве (1) a=1:
(1+b+c)/3 = 4*(1+1/b+1/c)/3

Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается, а вторая уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно уменьшаться.
Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара (b=3,c=3) ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

(2,2,2) и (1,2,4)

Добавил slava191, просмотры: ☺ 1830 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
1) 48 54=102 (км/ч) - скорость удаления тигров.
2) 102*3=306 (км) - будет между тиграми через 3 ч.
Ответ: 306 км.
✎ к задаче 9655
В прямоугольном треугольнике АВС
∠ ВАС= α
∠ ВСА= β
α + β =90 ° - cумма острых углов прямоугольного треугольника 90 °

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания:
OP ⊥ AB
OQ ⊥ AC

В прямоугольном треугольнике РАО
∠ РАО= α , значит ∠ POA= β

В прямоугольном треугольнике CQО
∠ QCО= β , значит ∠ COQ= α

Δ APO ~ ΔCQO по двум углам.


AO=√5/3; AK=AO+OK=(√5/3)+(2/3)=(√5+2)/3
AF=AO-OF=(√5/3)-(2/3)=(√5-2)/3

По свойству касательной и cекущей, проведенных из точки А:
AP^2=AF*AK

AP^2=(√5-2)/3 * (√5+2)/3 = 1/9

AP=1/3

[b]AB[/b]=AP+PB=(1/3)+(2/3)=[b]1[/b]
Δ APO ~ ΔCQO
OP:QC=AP:OQ

QC=4/3
[b]BC[/b]=BQ+QC=(2/3)+(4/3)=[b]2[/b]

S_( ΔABC)=(1/2)AB*BC=(1/2)*1*2=1

О т в е т. S_( ΔABC)=1
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 45621
n=600
p=1/2
q=1-p=1-(1/2)=1/2

a)
P_(600)(105)
Формулa Бернулли не применима.

Применяют [i]локальную формулу Лапласа[/i]
np=300
npq=150
sqrt(npq)=sqrt(150) ≈
x=(k-np)/sqrt(npq)=(105-300)/sqrt(105) ≈
P_(600)(105) =(1/sqrt(npq)) φ (x)=
φ (x) находим в таблице

б) P_(600)(105 ≤ k ≤ 120)
Применяют [i]интегральную формулу Лапласа[/i]
x_(2)=(120-300)sqrt(105) ≈
x_(1)=(105-300)sqrt(105) ≈
P_(600)(105 ≤ k ≤ 120)=Ф(x_(2))-Ф(x_(1))=
Ф (x) находим в таблице значний функции Лапласа.

Cм аналогичные решения в категории
https://reshimvse.com/category.php?name=sova_cat_299
✎ к задаче 45661
log_{6}(1+(\sqrt[12]{3})^{3x^2-34x}+26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25})\leq 2
ОДЗ:
{9x-8>0 ⇒ x>8/9
{1+(\sqrt[12]{3})^{3x^2-34x}+26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25}>0

2=log_(6)36

log_{6}(1+(\sqrt[12]{3})^{3x^2-34x}+26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25})\leq log_{6}36

Логарифмическая функция с основанием 6 возрастающая, поэтому
1+(\sqrt[12]{3})^{3x^2-34x}+26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25}\leq 36

3^{\frac{3x^2-34x}{12}}+26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25}\leq 35

может быть [i]перегруппировать[/i]

(3^{\frac{3x^2-34x}{12}}-9)+(26\cdot log_{4}\frac{9x-8}{25}-26)\leq 0

(3^{\frac{3x^2-34x}{12}}-3^{2})+26\cdot( log_{4}\frac{9x-8}{25}-1)\leq 0

здесь нужно обоснование почему каждое слагаемое сравниваем с нулем.

{\frac{3x^2-34x}{12} ≤ 2 ⇒ -1 ≤ x ≤ 12
{ log_{4}\frac{9x-8}{25} ≤ 1 ⇒ 9x-8 ≤ 100 ⇒ x ≤ 12

О т в е т. 1; 2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12
✎ к задаче 45634
FE- средняя линия Δ SDC
FE=0,5

BE=AF=sqrt(3)/2 ( высоты равносторонних треугольников SBC и SDC cо стороной 1)

Продолжим стороны AF и DE до пересечения.
см. рис.

FE - средняя линия Δ АВК
AF=FK
AK=BK=sqrt(3)

По теореме косинусов:
AB^2=AF^2+BF^2-2AF*BF*cos φ

1=3+3-2*sqrt(3)*sqrt(3)*cos φ

cos φ =[b]5/6[/b]
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 45655