ЗАДАЧА 526 Среднее арифметическое трёх натуральных

УСЛОВИЕ:

Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.

РЕШЕНИЕ:

Пусть искомые числа — a, b и с.
Мы знаем, что
(a+b+c)/3 = 4*(1/a+1/b+1/c)/3 (1)
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abc
Домножим обе части на abc:
a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4ac
В свою очередь, это выражение можно записать так:
(c2-4)ab + (b2-4)ac + (a2-4)bc = 0 (2)
Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:
а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,
б) либо чтобы все они были равны нулю.

Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то есть
a = b = c = 2
Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4

Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.
Тогда равенство (2) принимает вид:
(c2-4)-3с-3с=0
c2-6с-4=0
Это уравнение не имеет решений в целых числах.

Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль, то есть, скажем, a=1, b=2
Тогда равенство (2) принимает вид:
2(c2-4)-6с=0
c2-3c-4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.
Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4

Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме (1, 2, 4) отсутствуют.
Для этого положим в равенстве (1) a=1:
(1+b+c)/3 = 4*(1+1/b+1/c)/3

Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается, а вторая уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно уменьшаться.
Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара (b=3,c=3) ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.
ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
отправить + регистрация в один клик
опубликовать + регистрация в один клик

ОТВЕТ:

(2,2,2) и (1,2,4)

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил slava191 , просмотры: ☺ 1291 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Только зарегистрированные пользователи могут писать свои решения.
Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

SOVA ✎ x=1/sint dx=-costdt/sin^2t = ∫ (sin^3t*sint/cost)*(-costdt/sin^2t)= = -∫ sin^2tdt=- ∫ (1-cos2t)/2=(-1/2)*t+(1/2)sin2t+C sint=1/x ⇒ t=arcsin(1/x) cost=sqrt(1-(1/x)^2) cost=sqrt(x^2-1)/x (-1/2)*t+(1/2)sin2t+C=(-1/2)*t+(1/2)*2sintcost+C =(-1/2)*arcsin(1/x)+(1/x)*sqrt((x^2-1)/x) + C= =(-1/2)*arcsin(1/x)+sqrt((x^2-1)/x^2) + C= к задаче 26650

SOVA ✎ Из второго уравнения x+y+7=7 x+y=0 y=-x Первое уравнение квадратное относительно x^2+y^2-4x+4=t at^2+(6a^2-3a-2)*t-12a+6=0 D=(6a^2-3a-2)^2-4*a*(-12a+6)= =36a^4+9a^2+4-36a^3-24a^2+12a+48a^2-24a= =36a^4+9a^2+4-36a^3-24a^2+12a+48a^2-24a= =36a^4-36a^3+33a^2-12a+4 больше или равно 0 Обозначим g(a)=36a^4-36a^3+33a^2-12a+4 g(a) > 0 при любом а График расположен выше оси Ох ( см. рис) Значит при любом а квадратное уравнение at^2+(6a^2-3a-2)*t-12a+6=0 имеет два корня t_(1)(a) и t_(2)(a) обратная замена приводит к двум уравнениям x^2-4x+y^2+4=t_(1) (а) или x^2-4x+y^2+4=t_(2)(a) Каждое уравнение представляет собой окружность. Надо чтобы первая окружность пересекала прямую у=-х в двух точках, а вторая окружность хотя бы в одной и наоборот. Пока других соображений нет к задаче 26649

SOVA ✎ ОДЗ: {2x-1 > 0; 2x-1 ≠ 1 ⇒ x ∈ (0,5; 1) U(1;+ бесконечность ) {9x^2-12x+4 > 0 ⇒ (3x-2)^2 > 0 ⇒ x ≠ 2/3 {3x-2 > 0 ⇒ x > 2/3 (6x^2-7x+2 > 0 ⇒ D=49-48=1 x ∈ (- бесконечность;1/2)U(2/3;+ бесконечность ) {3log_(2x-1)(6x^2-7x+2)-2 ≠ 0 ⇒ (6x^2-7x+2)^3 ≠ (2x-1)^2 ⇒ (2x-1)^3*(3x-2)^3 ≠ (2x-1)^2 ⇒ (2x-1)^2*(2x-1)*(3x-2)^3-1) ≠ 0 ⇒ 2x-1 ≠ 0 или (2x-1)*(3x-2)^3 ≠ 1 ⇒ x ≠ 1 или x ≠ a, 0 < a < 1 и не войдет в ОДЗ ОДЗ: (3/2; + бесконечность ) В условиях ОДЗ log_(2x-1)(9x^2-12x+4)=log-(2x-1)(3x-2)^2=2log_(2x-1)(3x-2); log^2_(2x-1)(9x^2-12x+4)=(2log_(2x-1)(3x-2))^2=4log^2_(2x-1)(3x-2); log_(2x-1)(6x^2-7x+2)=log_(2x-1)(2x-1)(3x-2)= =log_(2x-1)(2x-1)+log_(2x-1)(3x-2)=1+log_(2x-1)(3x-2) Замена переменной log_(2x-1)(3x-2)=t Неравенство принимает вид (4t^2-10t+18)/((3+3t)-2) меньше или равно 2; (4t^2-16t+16)/(3t+1) меньше или равно 0 так как 4t^2-16t+16 > 0 при любом t ⇒ 3t+1 < 0 t < -1/3 log_(2x-1)(3x-2) < -1/3 (2x-1-1)*(3x-2-(2x-1)^(-1/3)) < 0 (2x-2)*(3x-2-(1/∛(2x-1))) < 0 При x ∈ ОДЗ 2x-2 > 0 значит (3x-2 - (1/∛2x-1)) < 0 ⇒ (3x-2)^3*(2x-1) < 1 см последнее неравенство при нахождении ОДЗ Решением служит (a;1) , который не входит в ОДЗ Cм. рис. Графики у=(2х-1)(3х-2)^3 и y=1 О т в е т. Нет решений к задаче 26647

SOVA ✎ у`=(х^2–31х+31)`*е^(15–х)+(x^2-31x+31)*(e^(15-x))` у`=(2x–31)*е^(15–х)+(x^2-31x+31)*(e^(15-x))*(15-x)` у`=(2x–31)*е^(15–х)+(x^2-31x+31)*(e^(15-x))*(-1) y`=e^(15-x)*(2x-31-x^2+31x-31) y`=e^(15-x)*(-x^2+33x-62) y`=0 e^(15-x) > 0 при любом х -x^2+33x-62=0 x^2-33x+62=0 D=(-33)^2-4*62=1089-248=841=41^2 x_(1)=(33-41)/2=-4 или x_(2)=(33+41)/2=37 _-__ (-4) __+___ (37) __-__ x=-4 - точка минимума, производная меняет знак с - на + к задаче 26645

SOVA ✎ x^2-10x+25-x^2=3 -10x=-22 x=22/10 x=2,2 к задаче 26642