✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 526 Среднее арифметическое трёх натуральных

УСЛОВИЕ:

Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.

РЕШЕНИЕ:

Пусть искомые числа — a, b и с.
Мы знаем, что
(a+b+c)/3 = 4*(1/a+1/b+1/c)/3 (1)
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abc
Домножим обе части на abc:
a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4ac
В свою очередь, это выражение можно записать так:
(c2-4)ab + (b2-4)ac + (a2-4)bc = 0 (2)
Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:
а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,
б) либо чтобы все они были равны нулю.

Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то есть
a = b = c = 2
Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4

Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.
Тогда равенство (2) принимает вид:
(c2-4)-3с-3с=0
c2-6с-4=0
Это уравнение не имеет решений в целых числах.

Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль, то есть, скажем, a=1, b=2
Тогда равенство (2) принимает вид:
2(c2-4)-6с=0
c2-3c-4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.
Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4

Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме (1, 2, 4) отсутствуют.
Для этого положим в равенстве (1) a=1:
(1+b+c)/3 = 4*(1+1/b+1/c)/3

Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается, а вторая уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно уменьшаться.
Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара (b=3,c=3) ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

(2,2,2) и (1,2,4)

Добавил slava191, просмотры: ☺ 1654 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователелей

Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!
Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!

Написать комментарий

Последние решения
1.
20%=20/100=0,2
15*0,2=3 рубля составляет повышение
15+3=18 рублей стоит билет
100:18=6 билетов можно купить

3.
S( Δ)=(1/2)a*h=(1/2)*3*8=12

4
5^(x+3)=5^3
x+3=3
x=0

5.
V=S_(осн)*Н= (1/2)*a*b*H=(1/2)*3*6*10=90

8.
C=2*1+ln4^3-ln64=2+ln(64/64)=2+ln(1)=2+0= [b]2[/b]
[удалить]
✎ к задаче 38238
(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 - каноническое уравнение эллипса.

Делим данное уравнение на 9
(x^2/9)+(y^2/3)=1

a^2=9
[b]a=3[/b] - большая полуось

b^2=3
[b]b=sqrt(3)-[/b] малая полуось

b^2=a^2-c^2 ⇒ c^2=a^2-b^2=9-3=6

c=sqrt(6)

[b]F_(1)(-sqrt(6);0) ; F_(2)(sqrt(6);0)[/b]- фокусы

(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38245
S_(правильного треугольника)=a^2sqrt(3)/4
a^2sqrt(3)/4=sqrt(3)
a^2/4=1
a^2=4
a=2 - сторона основания

V=(1/3)*S_(осн)*Н

1/sqrt(3)=(1/3)*sqrt(3)*H

H=1

b=sqrt(H^2+R^2)

R=asqrt(3)/3=2sqrt(3)/3

b=sqrt(1+(2sqrt(3)/3)^2)=sqrt(1+(4/3))=sqrt(7/3)=sqrt(21)/3

О т в е т. sqrt(21)/3
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38246
( sin^2(a)-cos^2(a)+cos^4(a)/(cos^2(a)-sin^2(a)+sin^4(a))=
=(cos^4(a)-cos2a)/(sin^4(a)+cos2a)=(cos^4(a)-2cos^2(a)+1)/(sin^4(a)-2sin^2(a)+1)=((1-cos^2(a))^2/((1-sin^2(a))^2=(sin^2(a))^2/(cos^2(a))^2=tq^4(a).
Ответ: tq^4(a).
[удалить]
✎ к задаче 38239
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38244