✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 526 Среднее арифметическое трёх натуральных

УСЛОВИЕ:

Среднее арифметическое трёх натуральных чисел в 4 раза больше, чем среднее арифметическое обратных им чисел. Найдите эти натуральные числа.

РЕШЕНИЕ:

Пусть искомые числа — a, b и с.
Мы знаем, что
(a+b+c)/3 = 4*(1/a+1/b+1/c)/3 (1)
Приведём правую часть к общему знаменателю:
a+b+c = 4(ab+bc+ac)/abc
Домножим обе части на abc:
a2bc+b2ac+c2ab = 4ab+4bc+4ac
В свою очередь, это выражение можно записать так:
(c2-4)ab + (b2-4)ac + (a2-4)bc = 0 (2)
Сумма трёх слагаемых обращается в ноль. Чтобы это выполнялось, требуется, чтобы:
а) либо как минимум одно из слагаемых было отрицательным,
б) либо чтобы все они были равны нулю.

Случай (б): c2=4, b2=4, a2=4, то есть
a = b = c = 2
Действительно, (2+2+2)/3 = 2; (1/2+1/2+1/2)/3 = 1/2 = 2/4

Случай (а). Пусть, например, два из трёх слагаемых отрицательны, то есть a=b=1.
Тогда равенство (2) принимает вид:
(c2-4)-3с-3с=0
c2-6с-4=0
Это уравнение не имеет решений в целых числах.

Теперь предположим, что одно из слагаемых отрицательно, а второе обращается в ноль, то есть, скажем, a=1, b=2
Тогда равенство (2) принимает вид:
2(c2-4)-6с=0
c2-3c-4=0 c = (3±5)/2, единственный натуральный корень — 4.
Итак, ещё одна тройка — 1, 2, 4

Нам осталось доказать, что при равенстве одного из чисел единице другие тройки кроме (1, 2, 4) отсутствуют.
Для этого положим в равенстве (1) a=1:
(1+b+c)/3 = 4*(1+1/b+1/c)/3

Заметим, что при увеличении одного из чисел левая часть равенства увеличивается, а вторая уменьшается. Значит, другое число для сохранения равенства должно уменьшаться.
Зная, что пара (b=2,c=4) удовлетворяет равенству, достаточно проверить, что пара (b=3,c=3) ему не удовлетворяет, а случай b=1 уже рассмотрен выше.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

(2,2,2) и (1,2,4)

Добавил slava191, просмотры: ☺ 1801 ⌚ 29.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
V_(цилиндра)=S_(осн)*Н=π*R^2*H

R=6
H=7

V_(цилиндра)=π*6^2*7=252π

V_(части)=(1/4)V_(цилиндра)=[b]63π[/b]
✎ к задаче 43740
T=2πsqrt(m/k)
ν=1/T
✎ к задаче 43735
Одна касательная - Это ось Ох
Уравнение y=0

Вторая - перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Вот точку касания и нужно найти.
Или угловой коэффициент k, исходя из геометрических соображений.

По свойству касательных, проведенных к оружности из одной точки, отрезки касательных равны.

Угол между касательными обозначим 2 α

Из прямоугольного треугольника

tg α =2/4=1/2

tg2 α =2tg α /(1+ tg^2 α )=1/(1+(1/4))=4/5

k_(касательной)=tg2 α =4/5

О т в е т. [b]y=(4/5)x[/b]

(прикреплено изображение)
✎ к задаче 43732
V_(первоначальный)=10 л
V_(новый)=1,9*10=19 л

v_(детали)=19-10=9 л
✎ к задаче 43738
V_(воды)=S_(осн)*h

1500=S_(осн)*25

S_(осн)=1500:25=60

V_(вода+деталь)=S_(осн)*Н=60*28=1680 cм^3

v_(детали)=V_(вода+деталь)-V_(воды)=1680-1500=180 cм^3



✎ к задаче 43729