Задача 51991 2. Найти общее решение дифференциального...

kholmatov

31 мая 2020 г. в 14:18

2. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка.

xy'' = y'. (Ответ: y = C1x²/2 + C2.)

vk397114329

31 мая 2020 г. в 17:52

Условие:
xy''=y'
Решение:
Положим dy/dx=z, тогда данное уравнение запишется в виде
xdz/dx=z; или xdz=zdx; отсюда dz/z=dx/x , интегрируя ∫ dz/z= ∫ dx/x получаем
lnz=lnx+lnC1 или lnz=lnxC1, отсюда z=e^ln(xC1)=xC1 т,к z=y', то
Получаем общее решение исходного уравнения
dy/dx=xC1, отсюда dy=xC1dx или y= ∫ xC1dx=x²/2·C1+C2