Задача 5140 В правильной четырехугольной призме...

ViktoriasSecret

10.11.2015

В правильной четырехугольной призме АВСДА1В1С1Д1 известно что ас1= 2вс. найдите угол между диагоналями вд1 и са1. ответ дайте в градусах.

slava191

10.11.2015

★

Построим правильную четырёхугольную призму, обозначим вершины, построим диагонали BD1 и CA1:

Сразу отметим, что диагонали BD1 и CA1 являются диагоналями прямоугольника A1BCD1, то есть они равны между собой и равны диагонали AC1 (так как призма правильная четырехугольная).

Известно, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то есть:

A1С = D1B

A1O = ОС и D1O = ОB

A1O = ОС = D1O = ОB

В условии сказано, что AC1 = 2BC, значит имеем BD1 = CA1 = 2BC. На основании изложенного можем сделать вывод о том, что:

BO = ОС = BC и A1O = ОD1 = A1D1

то есть треугольники BОС и A1OD1 равносторонние.

Таким образом, угол острый между диагоналями равен 60.

Ответ: 60