Задача 50948 Окружности с центрами в точках I и J не...

help

20 мая 2020 г. в 11:02

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и окружности не лежат одна внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении t : п . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как т : п .

morcovcaiq

20 мая 2020 г. в 11:15

★

Сделаем рисунок. 
АВ – общая касательная. 
IJ–  отрезок, соединяющий центры. 
О – точка пересечения этого отрезка и касательной. 
IA – радиус большей окружности,  JB – радиус меньшей окружности. 
Вариант решения 1)
Как радиусы, проведенные в точку касания, IA  и  JB  перпендикулярны  касательной АВ.
Прямоугольные треугольники OIA  и OJB подобны по двум углам – прямому и вертикальному при О. Все стороны этих треугольников имеют коэффициент подобия
k=m:n ⇒
IA:JB=m:n
Ясно, что отношение диаметров данных  окружностей равно отношению их радиусов,  т.е. АС:ВD=m:n.

Вариант решения 2)
СА ⊥АВ 
BD ⊥АВ ⇒
СА и BD– параллельны.
Углы С и D равны как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей.. Углы при О равны, как вертикальные. 
Треугольники АСO и  DBO подобны по трем углам. 
OI OJ– медианы этих треугольников. 
Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности,  длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.
 Следовательно, отношение диаметров данных окружностей ( гипотенуз треугольников) равно отношению их медиан, т.е. АС:ВD=m:n.