Задача 50733 В правильной треугольной пирамиде...

shayla

2020-05-19 06:21:51

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно L, а плоский угол при вершине - [m]\alpha[/m]. Найдите боковую поверхность и объем пирамиды.

xacku13052020

2020-05-19 07:13:10

★

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно L, а плоский угол при вершине – α. Найдите боковую поверхность и объем пирамиды.
Объяснение .
АВСМ-правильная пирамида, МО-высота пирамиды, МН-апофема боковой грани.
1)[b]S(бок)=1/2Р(осн)*d , где d=МН-апофема.[/b]
ΔВСМ : МВ=МС=L, ∠ ВМС= α . По т. косинусов
ВС²=МВ²+МС²-2*МВ*МС*cosМ,
BС²=L²+L²-2*L*L*cos α ,
BС²=2L²(1-cos α) или BС=L√(2(1-cos α) ).
Тогда ВН=0,5L√(2(1-cos α) ), т.к высота в равнобедренном треугольнике является медианой.
ΔВМН-прямоугольный, ∠ ВМН= α /2.
cos( α /2)=МН/МВ или МН=Lcos( α /2).
S(бок)=1/2*(3*L√(2(1-cos α) )*Lcos( α /2)=3/2*L²cos(α /2)√(2(1-cos α) )
2) V=1/3*S(осн)*МО
S(осн)=S( прав.тр)=(а²√3)/4 , где а-сторона основания,
S(осн)=(2L²(1-cos α) *√3)/4 =(L²(1-cos α)√3 )/2=.L²sin²(α/2)√3
ОН-радиус вписанной окружности r =(a√3) /6
ОН=( L√(2(1-cos α) )*√3) /6=(L√(6(1-cos α) )/6
Δ МОН-прямоугольный . По т. Пифагора МО=√(.МН²-ОН²).......

МО=√(L²cos²(α /2) -L²(1-cos α)/6)=L√(cos²(α /2).-1/3sin²(α/2) )
V=1/3*L²sin²(α/2)√3 *L√(cos²(α /2).-1/3sin²(α/2) )=......