Задача 50333 Боковое ребро правильной треугольной...

tupiza

15 мая 2020 г. в 23:57

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 10, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен 1/16. Точка M — середина ребра SC.
а) Докажите, что BC перпендикулярно AS.
б) Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.

Легче понимаю координатный способ, но любое решение подойдет

xacku13052020

16 мая 2020 г. в 07:31

а)Пусть SO⊥(ABC) Тогда, точка О –центр правильного треугольника( лежит в точке пересечения медиан).
Т.к. прямая лежащая в плоскости ВС ⊥АО, то и наклонная SA⊥ВС по т. о трех перпендикулярах .
б)Пусть МN||SA , тогда ∠ВМN–искомый.
ΔSAC , МN– средняя линия ZS, МN=5
ΔВSМ , по т. косинусов ВМ²=SM²+SB²–2·SM·SB·cosBSM ,
cosBSM=cosASB,
ВМ²=5²+10²–2·5·10·(1/16) ,
ВМ=2,5√19.
ΔВSС , по т. косинусов ВС²=SС²+SB²–2·SС·SB·cosBSM ,
ВС=√(2·100–2·100·(1/16))= 2,5√30
1/2ВС=1,25√30
ΔВРС–прямоугольный, по т. Пифагора :
ВN=3,75√30
ΔВРN, по т. косинусов ВN²=ВМ²+NМ²–2·ВМ·NМ·cosBMN ,
(3,75√30)²= (2,5√19)²+5²–2·(2,5√19)·5·cosBMN ,
///////////////////////////////
cosBMN =1/(8√19 )= √19/152