ЗАДАЧА 498 В турнире участвовали 55 теннисистов.

УСЛОВИЕ:

В турнире участвовали 55 теннисистов. Все игры проходили на одном корте. Спортсмен, проигравший хотя бы одну игру, выбывает из турнира. Оказалось, что у участников каждой встречи количество предыдущих побед отличалось не более чем на одну. Какое наибольшее число игр мог сыграть победитель турнира?

РЕШЕНИЕ:

f(k) - максимальное количество игр, которые сыграл победитель турнира с k участниками.
Тогда f(2)=1,f(3)=2,f(4)=2 - победитель не может выиграть последовательно у остальных троих, т.к. нарушается условие задачи (количество предыдущих побед отличалось не более чем на одну).
f(5)=3. Аналогично f(5)<4, а f(5)=3, когда теннисисты разбиваются на две группы по 2 и 3 человека.

Пусть k=6,7?f(k)=3, т.к. Победитель и Финалист выиграли в своих группах, поэтому если f(k)=4, значит Финалист провел минимум 2 игры ? в его группе минимум 3 человека, значит в группе Победителя максимум 4 человека, но тогда до Финала тот провел 2 игры, противоречие.
f(8)=4, т.к. тогда можно разбить на две группы по 5 и 3 человека, при этом f(5)=3,f(3)=2,|3?2|?1.

Аналогично, если k=9,10,11,12, то f(k)=4. Если f(k)=5, то Финалист провел в своей группе минимум 3 игры ? в этой группе минимум 5 человек ? в группе Победителя максимум 7 человек, что противоречит тому, что он провел 4 игры в своей группе.
f(13)=5, разбиваем на две группы по 8 и 5 человек.
Аналогичными рассуждениями получаем, что f(k)=5 при k=13,...,20.
f(21)=6,f(k)=6 при k=22,...,33
f(34)=7,f(k)=7 при k=35,...,54
f(55)=8,f(k)=8 при k=56,...,88
ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ?
НАШЛИ ОШИБКУ?
отправить + регистрация в один клик
опубликовать + регистрация в один клик

ОТВЕТ:

8

Нужна помощь?

Опубликовать

Добавил slava191 , просмотры: ☺ 741 ⌚ 17.01.2014. математика 10-11 класс
КОД ВСТАВКИ

РЕШЕНИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Написать своё решение

Только зарегистрированные пользователи могут писать свои решения.
Увы, но свой вариант решения никто не написал... Будь первым!

НАПИСАТЬ КОММЕНТАРИЙ

Мы ВКонтакте
Последние решения

u821511235 ✎ к задаче 27696

SOVA ✎ Пусть ширина окантовки х Тогда стороны прямоугольника с окантовкой (23+2х)*(41+2х)=2035 23*41+82х+46х+4х^2=2035 4x^2+128x-1092=0 x^2+32x-273=0 D=32^2-4*(273)=1024+1092=2116=46^2 x=(-32+46)/2=7 второй корень уравнения отрицательный и не удовл смыслу задачи О т в е т. 7 к задаче 27975

SOVA ✎ 1) По теореме Пифагора второй катет sqrt(13^2-5^2)=sqrt(144)=12 см S(осн.)=(1/2)a*b=(1/2)5*12=30 кв см S(бок)=Р(осн)*Н=(5+12+13)*8=30*8=240 кв см S(полн)=S(бок) +2S (осн)=240+2*30=300 2) H=h*sin60^(o)=4*(sqrt(3))/2)=2sqrt(3) см. рисунок. 3) Треугольник АСС_(1) - прямоугольный равнобедренный СС_(1)=АС=6 АС^2=AB^2+BC^2 AB=BC ( стороны квадрата равны) 36=2AB^2 AB^2=18 AB=3sqrt(2) S(бок)=P(осн)*Н=4*3sqrt(2)*6=72 sqrt(3) кв. см 4) Значит углы при основаниях в боковых треугольниках тоже по 60^(o) Боковые треугольники - равносторонние h( апофема)=4*sqrt(3)/2=2sqrt(3) S(полн)=S(бок) +S (осн)= 4*S(боковых треугольников)+S (квадрата)= =4*(1/2)*4*2sqrt(3)+4^2=16sqrt(3)+16 ( кв. см) к задаче 27974

SOVA ✎ Треугольник АО_(1)В- равнобедренный (ВО_(1)=АО_(1)=r=2) Значит ∠ АВО_(1)= ∠ О_(1)АВ=30^(o) ∠ BO_(1)A=120^(o) По теореме косинусов АВ^2=r^2+r^2-2*r*r*cos120^(o)=4+4-2*4*(-1/2)=12 AB=2 sqrt(3) Или высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины O_(1) на сторону АВ, делит АВ пополам. Поэтому (1/2) АВ=r*cos30^(o) ( все верно в 536) AB=2r*cos30^(o) Аналогично Треугольник АО_(2)В- равнобедренный (ВО_(2)=АО_(2)=R=3) ∠CАО_(2)=∠ ВAО_(1) как вертикальные Значит ∠ АСО_(2)= ∠ О_(2)АС=30^(o) ∠ СO_(2)A=120^(o) По теореме косинусов АС^2=R^2+R^2-2*R*R*cos120^(o)=9+9-2*9*(-1/2)=27 AC=3 sqrt(3) BC=BA+AC=2 sqrt(3)+3sqrt(3)=5sqrt(3) S( Δ BCO_(2))=(1/2)*BC*CO_(2)*sin30^(o)=(1/2)*5sqrt(3)*3*(1/2)=15sqrt(3)/4 О т в е т. 15 sqrt(3)/4 к задаче 27973

SOVA ✎ Сделаем замену переменной. 5^x=t > 0; 25^x=(5^2)^x=(5^x)^2=t^2 Если 5^x=t_(1) или 5^x=t_(2) t_(1) больше или равно 1 и t_(2) больше или равно 1, то данное уравнение будет иметь два неотрицательных корня. После введённой замены уравнение примет вид |2t–a|–|t+2a|=t^2. Применяем координатно–параметрический метод. Рассматриваем плоскость аОt Раскрываем знак модуля в каждой из четырех областей. 1) Подмодульные выражения обращаются в 0 при 2t–a=0 ⇒ t=a/2 при t+2a=0 ⇒ t=–2a Прямые t=a/2 и t=–2a разбивают координатную плоскость аОt на 4 области. Раскрываем знаки модуля в каждой области 1 область {2t-a больше или равно 0 {t+2a больше или равно 0 2t–a-t+2a=t^2 ⇒ a=(-1/3)(t^2-t) - зеленая парабола Вершина параболы в точке t=1/2 a=1/8. О т в е т. два неотрицательных решения 0 < t меньше или равно 1 при 0 < a меньше или равно 1/8 Обратная замена приводит к уравнениям 5^x=t_(1) или 5^(x)=t_(2), не имееющим неотрицательных решений. В первой области нет решений. 2 область {2t-a больше или равно 0 {t+2a < 0 2t–a+t+2a=t^2 ⇒ a=t^2–3t парабола оранжевого цвета, оставлена только та её часть, которая принадлежит области 2. Вершина в точке t=1,5; a=–2,25. На (-2,25;-2] Уравнение имеет два решения t от 1 до 2 Обратная замена приводит к двум уравнениям 5^x=t_(1) или 5^(x)=t_(2) Решение которых и дает неотрицательных решения х 3 область и 4 область расположены ниже оси Оа положительных значений t нет, а значит и уравнение 5^x=t не будет иметь решений Поскольку показательное уравнение 5^x=t имеет положительный корень, если t > 1, то при a∈(–2,25;–2] данное уравнение будет иметь ровно два неотрицательных корня. О т в е т. a∈(–2,25;–2] к задаче 27972