✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 495 Кузнечик прыгает по вершинам правильного

УСЛОВИЕ:

Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника ABC, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины A обратно в вершину A за 11 прыжков?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через an, bn, cn число способов переместиться за n прыжков в точку A, B, C соответственно, начиная из точки A. Из соображений симметрии, bn=cn, так как в любом маршруте можно поменять роли B и C.

Очевидно, что an+1=bn+cn=2bn, так как в точку A можно прийти или из B, или из C. Аналогично, bn+1=an+cn=an+bn из тех же соображений. Непосредственно ясно, что b0=0, b1=1, и при этом имеет место рекуррентное соотношение bn+2=an+1+bn+1=bn+1+2bn. Для нахождения формулы общего члена здесь имеются стандартные способы, но их можно избежать следующим образом. Попытаемся найти несколько первых членов последовательности bn (n?0), и угадать общую закономерность, которую далее станет можно доказать методом математической индукции.

Последовательность получается такая: 0,1,1,3,5,11,21,…. Здесь каждый следующий член примерно в два раза больше предыдущего, поэтому имеет смысл сравнить нашу последовательность с последовательностью степеней двойки: 1,2,4,8,16,32,64,…. Видно, что у второй последовательности каждый член примерно втрое больше. Поэтому рассмотрим утроенную последовательность 3bn, члены которой равны 0,3,3,9,15,33,63,…. Сравнивая с последовательностью степеней двойки, мы видим, что она получается из 3bn прибавлением последовательности 1,?1,1,?1,…, для которой формула общего члена равна (?1)n (напомним, что последовательности у нас нумеруются с нулевого члена). Таким образом, для нескольких первых членов последовательности верна формула 3bn=2^n?(?1)^n, то есть bn=(2^n?(?1)^n)/3. Остаётся подставить эти значения в рекуррентную формулу и убедиться в справедливости этого равенства для всех n?0, применяя метод математической индукции.

С учётом того, что an=2bn?1 при n?1, имеем окончательный ответ
an=(2^n+2?(?1)^n)/3.
При n=0 формула также даёт верное значение a0=1.
В нашем случае n=11

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

682

Добавил slava191, просмотры: ☺ 2165 ⌚ 17.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

РЕШЕНИЕ ОТ slava191

Подобная задача!

Кузнечик
Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника ABC, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины A обратно в вершину A за 12 прыжков?

Решение:
Пусть кузнечик может совершить 1 прыжок, тогда число способов вернуться в вершину A равно 0, число способов попасть на вершину B равно 1.
Пусть всего 2 прыжка. Тогда число способов попасть обратно равно 2, а число способов попасть на вершину B равно 1.
Пусть A(k) - число способов вернуться в вершину A за k прыжков, B(k) - число способов попасть на вершину B за k прыжков. Тогда получаем, что A(k+1)=B(k)+C(k)=2B(k).
Также B(k+1)=A(k)+C(k)=A(k)+B(k)
(C(k) аналогичный показатель для вершины C, очевидно, что C(k)=B(k))
Итак, имеем два рекуррентных соотношения: A(k+1)=2B(k),B(k+1)=A(k)+B(k)
A(1)=0,B(1)=1,A(2)=2,B(2)=1,A(3)=2,B(3)=3 и т.д. Получаем A(12)=1366.

Ответ: 1366.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
1.1
log_(2)x=-3 ⇒ x=2^(-3); [b]x=1/8[/b]

1.2
0,00032=0,2^5
корень пятой степени из 0,2^5 равен [b]0,2[/b]
[удалить]
✎ к задаче 38868


Замена переменной:
sqrt((x+1)/(x+y))=u, u>0
sqrt((x+y)/(x+1))=1/u

sqrt((x+1)/(y+2))=v, v > 0
sqrt((y+2)/(x+1))=1/v

Система примет вид:

{u+(1/u)=2 ⇒ (u^2-2u+1)/u=0 ⇒ u=1
{v-(1/v)=(3/2) ⇒ (2v^2-3v-2)/v=0 ⇒ v=2 или v=-1/2 ( не удовл v>0)

sqrt ((x+1)/(x+y))=1 ⇒ (x+1)/(x+y)=1 ⇒ x+1=x+y ⇒ y=1; любое, х ≠ -1

sqrt((x+1)/(у+2))=2 ⇒ (x+1)/(y+2)=4 ⇒ x+1=4y+8, у ≠ -2; х ≠ -1

{y=1
{x+1=4y+8 ⇒ x=11

О т в е т. (11;1)
[удалить]
✎ к задаче 38866
P=I(1+0,2)cos^2θ [удалить]
✎ к задаче 38857
Справа изменения для ваших чисел (прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38855
(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 38847