✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 495 Кузнечик прыгает по вершинам правильного

УСЛОВИЕ:

Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника ABC, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины A обратно в вершину A за 11 прыжков?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через an, bn, cn число способов переместиться за n прыжков в точку A, B, C соответственно, начиная из точки A. Из соображений симметрии, bn=cn, так как в любом маршруте можно поменять роли B и C.

Очевидно, что an+1=bn+cn=2bn, так как в точку A можно прийти или из B, или из C. Аналогично, bn+1=an+cn=an+bn из тех же соображений. Непосредственно ясно, что b0=0, b1=1, и при этом имеет место рекуррентное соотношение bn+2=an+1+bn+1=bn+1+2bn. Для нахождения формулы общего члена здесь имеются стандартные способы, но их можно избежать следующим образом. Попытаемся найти несколько первых членов последовательности bn (n?0), и угадать общую закономерность, которую далее станет можно доказать методом математической индукции.

Последовательность получается такая: 0,1,1,3,5,11,21,…. Здесь каждый следующий член примерно в два раза больше предыдущего, поэтому имеет смысл сравнить нашу последовательность с последовательностью степеней двойки: 1,2,4,8,16,32,64,…. Видно, что у второй последовательности каждый член примерно втрое больше. Поэтому рассмотрим утроенную последовательность 3bn, члены которой равны 0,3,3,9,15,33,63,…. Сравнивая с последовательностью степеней двойки, мы видим, что она получается из 3bn прибавлением последовательности 1,?1,1,?1,…, для которой формула общего члена равна (?1)n (напомним, что последовательности у нас нумеруются с нулевого члена). Таким образом, для нескольких первых членов последовательности верна формула 3bn=2^n?(?1)^n, то есть bn=(2^n?(?1)^n)/3. Остаётся подставить эти значения в рекуррентную формулу и убедиться в справедливости этого равенства для всех n?0, применяя метод математической индукции.

С учётом того, что an=2bn?1 при n?1, имеем окончательный ответ
an=(2^n+2?(?1)^n)/3.
При n=0 формула также даёт верное значение a0=1.
В нашем случае n=11

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

682

Добавил slava191, просмотры: ☺ 2922 ⌚ 17.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

РЕШЕНИЕ ОТ slava191

Подобная задача!

Кузнечик
Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника ABC, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины A обратно в вершину A за 12 прыжков?

Решение:
Пусть кузнечик может совершить 1 прыжок, тогда число способов вернуться в вершину A равно 0, число способов попасть на вершину B равно 1.
Пусть всего 2 прыжка. Тогда число способов попасть обратно равно 2, а число способов попасть на вершину B равно 1.
Пусть A(k) - число способов вернуться в вершину A за k прыжков, B(k) - число способов попасть на вершину B за k прыжков. Тогда получаем, что A(k+1)=B(k)+C(k)=2B(k).
Также B(k+1)=A(k)+C(k)=A(k)+B(k)
(C(k) аналогичный показатель для вершины C, очевидно, что C(k)=B(k))
Итак, имеем два рекуррентных соотношения: A(k+1)=2B(k),B(k+1)=A(k)+B(k)
A(1)=0,B(1)=1,A(2)=2,B(2)=1,A(3)=2,B(3)=3 и т.д. Получаем A(12)=1366.

Ответ: 1366.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
Введем систему координат, так как показано на рисунке.
Тогда
С(0;0;0)
B(0;a;0)
А(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0)

H- точка пересечения медиан Δ АВС и проекция вершины S на пл. Δ АВС
H(\frac{a\sqrt{3}}{6};\frac{a}{2};0)
S(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};\frac{5a}{\sqrt{6}})

D_(1)- проекция точки D на пл. Δ АВС
D_(1) (\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{6}}{2};\frac{\frac{a}{2}+\frac{a}{4}}{2};0)

D_(1) (\frac{5a\sqrt{3}}{24};\frac{3a}{8};0)

D(\frac{5a\sqrt{3}}{24};\frac{3a}{8};\frac{5a}{2\sqrt{6}})

vector{BD}=(\frac{5a\sqrt{3}}{24};\frac{3a}{8}-a; \frac{5a}{2\sqrt{6}})

vector{BD}=(\frac{5a}{8\sqrt{3}};-\frac{5a}{8}; \frac{5a}{2\sqrt{6}})

|vector{BD}|=\frac{5a}{4}

Составим уравнение плоскости SCH. Так как С(0;0;0), то уравнение плоскости в общем виде:
Ах+By+Cz=0
Подставим координаты точек S и Н
получим:
\sqrt{3}x-y=0

Нормальный вектор плоскости имеет координаты:
vector{n}=(sqrt(3);-1)
|vector{n}|=2

[red]a) [/red] угол между прямой и плоскостью - это [i]угол между
прямой и ее проекцией[/i] на плоскость.

Этот угол является [i]дополнительным[/i] к углу между
направляющим вектором этой прямой - вектором vector{BD}
и нормальным вектором плоскости:

cos\angle (\vec{BD},\vec{n})=\frac{\vec{BD}\cdot\vec{n}}{|\vec{BD}|\cdot|\vec{n}|}=\frac{1}{2}

\angle (\vec{BD},\vec{n})=\frac{\pi}{3}

Итак,
\angle (BD,\Delta SCH)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}

[red]б)[/red]

При a=3
D(\frac{15\sqrt{3}}{24};\frac{9}{8};\frac{15}{2\sqrt{6}})

Применяем формулу расстояния от точки до плоскости:

d=|\frac{\sqrt{3}\cdot \frac{15\sqrt{3}}{24}-1\cdot\frac{9}{8}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}}=\frac{3}{8}






(прикреплено изображение)
✎ к задаче 45507
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 45501
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 45499
а).
\lim_{x \to 2 }\frac{3x-8}{4x+2}=\frac{3\cdot 2-8}{4\cdot 2 +2} =\frac{2}{10}=0,2=\frac{1}{5}

б).
=\lim_{x \to \infty }\frac{3x+5}{2x+7}=
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x:

=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x+5}{x}}{\frac{2x+7}{x}}=

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x и
каждое слагаемое знаменателя делим на x:

=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x}{x}+\frac{5}{x}}{\frac{2x}{x}+\frac{7}{x}}=

=\lim_{ \to \infty }\frac{3+\frac{5}{x}}{2+\frac{7}{x}}=\frac{3+0}{2+0}=\frac{3}{2}
✎ к задаче 45560
Решение записывают в виде трех столбиков : (прикреплено изображение)
✎ к задаче 45559