✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 495 Кузнечик прыгает по вершинам правильного

УСЛОВИЕ:

Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника ABC, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины A обратно в вершину A за 11 прыжков?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через an, bn, cn число способов переместиться за n прыжков в точку A, B, C соответственно, начиная из точки A. Из соображений симметрии, bn=cn, так как в любом маршруте можно поменять роли B и C.

Очевидно, что an+1=bn+cn=2bn, так как в точку A можно прийти или из B, или из C. Аналогично, bn+1=an+cn=an+bn из тех же соображений. Непосредственно ясно, что b0=0, b1=1, и при этом имеет место рекуррентное соотношение bn+2=an+1+bn+1=bn+1+2bn. Для нахождения формулы общего члена здесь имеются стандартные способы, но их можно избежать следующим образом. Попытаемся найти несколько первых членов последовательности bn (n?0), и угадать общую закономерность, которую далее станет можно доказать методом математической индукции.

Последовательность получается такая: 0,1,1,3,5,11,21,…. Здесь каждый следующий член примерно в два раза больше предыдущего, поэтому имеет смысл сравнить нашу последовательность с последовательностью степеней двойки: 1,2,4,8,16,32,64,…. Видно, что у второй последовательности каждый член примерно втрое больше. Поэтому рассмотрим утроенную последовательность 3bn, члены которой равны 0,3,3,9,15,33,63,…. Сравнивая с последовательностью степеней двойки, мы видим, что она получается из 3bn прибавлением последовательности 1,?1,1,?1,…, для которой формула общего члена равна (?1)n (напомним, что последовательности у нас нумеруются с нулевого члена). Таким образом, для нескольких первых членов последовательности верна формула 3bn=2^n?(?1)^n, то есть bn=(2^n?(?1)^n)/3. Остаётся подставить эти значения в рекуррентную формулу и убедиться в справедливости этого равенства для всех n?0, применяя метод математической индукции.

С учётом того, что an=2bn?1 при n?1, имеем окончательный ответ
an=(2^n+2?(?1)^n)/3.
При n=0 формула также даёт верное значение a0=1.
В нашем случае n=11

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

682

Добавил slava191, просмотры: ☺ 1886 ⌚ 17.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователелей

Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

РЕШЕНИЕ ОТ slava191

Подобная задача!

Кузнечик
Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника ABC, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины A обратно в вершину A за 12 прыжков?

Решение:
Пусть кузнечик может совершить 1 прыжок, тогда число способов вернуться в вершину A равно 0, число способов попасть на вершину B равно 1.
Пусть всего 2 прыжка. Тогда число способов попасть обратно равно 2, а число способов попасть на вершину B равно 1.
Пусть A(k) - число способов вернуться в вершину A за k прыжков, B(k) - число способов попасть на вершину B за k прыжков. Тогда получаем, что A(k+1)=B(k)+C(k)=2B(k).
Также B(k+1)=A(k)+C(k)=A(k)+B(k)
(C(k) аналогичный показатель для вершины C, очевидно, что C(k)=B(k))
Итак, имеем два рекуррентных соотношения: A(k+1)=2B(k),B(k+1)=A(k)+B(k)
A(1)=0,B(1)=1,A(2)=2,B(2)=1,A(3)=2,B(3)=3 и т.д. Получаем A(12)=1366.

Ответ: 1366.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

Написать комментарий

Последнии решения
12.
Неправильная дробь. Выделяем целую часть. Делим числитель на знаменатель "углом".
или так
x^5-2x+3=x^2*(x^3+2x)-2x^3-4x+2x+3=x^2*(x^2+2x)-2(x^3+2x) + 2x+3


[b] (x^5-2x+3)/(x^3+2x) = (x^2-2)+ (2x+3)/(x^3+2x)[/b]

Раскладываем правильную дробь на простейшие

x^3+2x=x(x^2+2)

(2x+3)/(x^3+2x) = (A/x) + (Mx+N)/(x^2+2)

2x+3=A*(x^2+2) + (Mx+N)*x

2x+3= (A+M)x^2+Nx+2A
A+M=0
2=N
3=2A
A=3/2
M=-A=-3/2

[b] ∫ (x^5-2x+3)dx/(x^3+2x) = ∫ (x^2-2)dx+ ∫(2x+3)dx/(x^3+2x)[/b]=

= ∫ (x^2-2)dx+ (3/2) ∫dx/x + ∫ ((-3/2)x+2)dx/(x^2+2)=

=(x^3/3)-2x+(3/2)ln|x| -(3/4)ln(x^2+2) + 2*(1/sqrt(2))arctg(x/sqrt(2))+C

∫dx/x =ln|x| - табличный

∫ хdx/(x^2+2)= замена u=x^2+2; du=2xdx; xdx=(1/2)du по формуле
∫du/u =ln|u|

∫dx/(x^2+2) =табличный ∫dx/(x^2+a^2)=1/a arctg(x/a)

14.
2cos^4y=2(cos^2y)^2=2*((1+cos4y)/2)^2=(1/2)*(1+2cos4y+cos^24y)=

=(1/2)*(1+2cos4y+(1+cos8y)/2)=(1/2)*((3/2)+2cos4y+(1/2)cos8y)

∫ 2cos^4ydy= (3/4) ∫ dx + ∫ cos4y dy +(1/4) ∫ cos8ydy=

=(3/4) ∫ dx + (1/4) ∫ cos4y d(4y) +(1/32) ∫ cos8y d(8y)=

=(3/4)x +(1/4)(sin4y) +(1/32)(sin8y) +C

16.
1/cos^3α=cosα/cos^4α
cos^4α=(cos^2α)^2=(1-sin^2α)^2

Замена
sin(x/4)=u; du=cos(x/4)*(x/4)`dx
du=(1/4)cos(x/4)dx
cos(x/4)dx=4du

∫ dx/cos^3(x/4)= ∫ 4du/(1-u^2)^2 = 4∫du/((u-1)(u+1))^2

-интеграл от правильной дроби. Разложить на 4 простейших

1/(1-u^2)^2= A/(u-1)+ B/(u-1)^2 + D/(u+1)+ F/(u+1)^2
1=A(u-1)(u+1)^2+B(u+1)^2+D(u+1)(u-1)^2+F(u-1)^2
u=1
1=4B
B=1/4
u=-1
1=4F
F=1/4
Осталось найти В и D


17.
ctg^4 α =ctg^2 α *ctg^2 α =ctg^2 α *(1/sin^2 α - 1)=

=ctg^2 α/sin^2 α - ctg^2 α = ctg^2 α/sin^2 α - (1/sin^2 α - 1)=

=ctg^2 α/sin^2 α - 1/sin^2 α + 1

∫ ctg^4(2x/3)dx= ∫ ctg^2(2x/3)dx/sin^2(2x/3)dx - ∫ dx/sin^2(2x/3) + ∫ dx

замена
(2х/3)=u
x=(3/2)u
dx=(3/2)du

=∫ ctg^2(2x/3)dx/sin^2(2x/3) - ∫ dx/sin^2(2x/3) + ∫ dx=

=∫ ctg^2u*(3/2)du/sin^2u - ∫ (3/2)du/sin^2u + ∫ dx=

=(3/2) ∫ ctg^2ud(ctgu) -(3/2) ∫ du/sin^2u + ∫ dx =

первый интеграл по формуле (1); второй по формуле (2)

=(3/2)сtg^3(2x/3) - (3/2)(-ctg(2x/3)) + x + C=

=(3/2)сtg^3(2x/3) +(3/2)*(ctg(2x/3)) + x + C=

(прикреплено изображение) [удалить]
✎ к задаче 33734
Документационное обеспечение управления (делопроизводство) – вид обеспечения управления организацией, который включает фиксацию, передачу и хранение информации о состоянии организации и управляющих воздействий по изменению ее состояния. Отрасль деятельности, обеспечивающая документирование и организацию работы с официальными документами является важным аспектом работы любого предприятия: в организациях создаются документы, отражающие результаты и ведение производственной деятельности, финансовое состояние, работу с персоналом, материально-техническое обеспечение и т.п. Именно документы обеспечивают реализацию управленческих функций, в них определяются планы, фиксируются учетные и отчетные показатели и другая информация. В связи с этим, можно сказать, что от того как налажена работа с документами, во многом зависят оперативность и качество принимаемых решений, эффективность их выполнения и деятельность организации в целом. [удалить]
✎ к задаче 33733
ДАВЛЕНИЕ 12 давление на 7 КвМетр [удалить]
✎ к задаче 33731
F = ma ⇒ a = F/m = 2/0.5 = 4 м/с^2

v = at = 4*20*60 = 4800 м/с

Там точно 20 минут?? Скорость получилось слишком огромная...
[удалить]
✎ к задаче 33622
Некорректно составленная задача. Может надо определить работу по перемещению проводника в магнитном поле. A = F_(а)*S, а чтобы найти F_(a) = I*B*L надо знать L - длину проводника .. в задаче не хватает данных [удалить]
✎ к задаче 33707