✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 495 Кузнечик прыгает по вершинам правильного

УСЛОВИЕ:

Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника ABC, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины A обратно в вершину A за 11 прыжков?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через an, bn, cn число способов переместиться за n прыжков в точку A, B, C соответственно, начиная из точки A. Из соображений симметрии, bn=cn, так как в любом маршруте можно поменять роли B и C.

Очевидно, что an+1=bn+cn=2bn, так как в точку A можно прийти или из B, или из C. Аналогично, bn+1=an+cn=an+bn из тех же соображений. Непосредственно ясно, что b0=0, b1=1, и при этом имеет место рекуррентное соотношение bn+2=an+1+bn+1=bn+1+2bn. Для нахождения формулы общего члена здесь имеются стандартные способы, но их можно избежать следующим образом. Попытаемся найти несколько первых членов последовательности bn (n?0), и угадать общую закономерность, которую далее станет можно доказать методом математической индукции.

Последовательность получается такая: 0,1,1,3,5,11,21,…. Здесь каждый следующий член примерно в два раза больше предыдущего, поэтому имеет смысл сравнить нашу последовательность с последовательностью степеней двойки: 1,2,4,8,16,32,64,…. Видно, что у второй последовательности каждый член примерно втрое больше. Поэтому рассмотрим утроенную последовательность 3bn, члены которой равны 0,3,3,9,15,33,63,…. Сравнивая с последовательностью степеней двойки, мы видим, что она получается из 3bn прибавлением последовательности 1,?1,1,?1,…, для которой формула общего члена равна (?1)n (напомним, что последовательности у нас нумеруются с нулевого члена). Таким образом, для нескольких первых членов последовательности верна формула 3bn=2^n?(?1)^n, то есть bn=(2^n?(?1)^n)/3. Остаётся подставить эти значения в рекуррентную формулу и убедиться в справедливости этого равенства для всех n?0, применяя метод математической индукции.

С учётом того, что an=2bn?1 при n?1, имеем окончательный ответ
an=(2^n+2?(?1)^n)/3.
При n=0 формула также даёт верное значение a0=1.
В нашем случае n=11

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

682

Добавил slava191, просмотры: ☺ 2712 ⌚ 17.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

РЕШЕНИЕ ОТ slava191

Подобная задача!

Кузнечик
Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника ABC, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины A обратно в вершину A за 12 прыжков?

Решение:
Пусть кузнечик может совершить 1 прыжок, тогда число способов вернуться в вершину A равно 0, число способов попасть на вершину B равно 1.
Пусть всего 2 прыжка. Тогда число способов попасть обратно равно 2, а число способов попасть на вершину B равно 1.
Пусть A(k) - число способов вернуться в вершину A за k прыжков, B(k) - число способов попасть на вершину B за k прыжков. Тогда получаем, что A(k+1)=B(k)+C(k)=2B(k).
Также B(k+1)=A(k)+C(k)=A(k)+B(k)
(C(k) аналогичный показатель для вершины C, очевидно, что C(k)=B(k))
Итак, имеем два рекуррентных соотношения: A(k+1)=2B(k),B(k+1)=A(k)+B(k)
A(1)=0,B(1)=1,A(2)=2,B(2)=1,A(3)=2,B(3)=3 и т.д. Получаем A(12)=1366.

Ответ: 1366.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
Точка M - середина AB
x_(M)=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}
y_(M)=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}
z_(M)=\frac{z_{A}+z_{B}}{2}


x_(M)=\frac{1+(-1)}{2}=0
y_(M)=\frac{4+(-3)+5}{2}=0,5
z_(M)=\frac{5+(-5)}{2}=0

M(0;0,5;0)

Точка K - середина CD
x_(K)=\frac{x_{C}+x_{D}}{2}
y_(K)=\frac{y_{C}+y_{D}}{2}
z_(K)=\frac{z_{C}+z_{D}}{2}


x_(K)=\frac{0+(-1)}{2}=-0,5
y_(K)=\frac{0+4}{2}=2
z_(K)=\frac{3+0}{2}=1,5

K(-0,5;2;1,5)

Точка P - середина MK
x_(P)=\frac{x_{M}+x_{K}}{2}
y_(P)=\frac{y_{M}+y_{K}}{2}
z_(P)=\frac{z_{M}+z_{K}}{2}


x_(P)=\frac{0+(-0,5)}{2}=-0,25
y_(P)=\frac{0,5+2}{2}=1,25
z_(P)=\frac{0+1,5}{2}=0,75

Что такое r_(1) и r_(2)
Условие написано не полностью
✎ к задаче 42622
1)
" ∃ x ∈ R|sinx>2" - "существует x-действительное, такое, что синус х > 2"

При составлении отрицания:
Знак ∃ меняем на ∀
знак > меняем на ≤

"vector{ ∃ x ∈ R|sinx>2}" [red]=[/red]" ∀ x ∈ R|sinx ≤ 2" - при любом действительном х, sinx ≤ 2

2)

"Множество М является ограниченным сверху или снизу"

" ∃ а ∨ b, a ∈ R, b ∈R, a < b | ∀ x ∈ M, x ≤ b ∨ x ≥ a"

"vector{∃ а ∨ b, a ∈ R, b ∈R , a < b| ∀ x ∈ M, x ≤ b ∨ x ≥a}"[red]=[/red]" ∀ a,b ∈ R,а < b, ∃ x_(1) ∧ x_(2) ∈ M| x_(1) < a ∧ x_(2)> b"

3)

"Множество М называется ограниченным сверху , если
найдется такое очень большое действительное число b,что для любого x из множества М выполняется неравенство x ≤ b

Cимволически:
фраза " выполняется неравенство" заменяется на :

"∃ b ∈R | ∀ x ∈ M : x ≤ b"
"vector{∃ b ∈R |∀ x ∈ M : x ≤ b}" [red]=[/red] " ∀ b ∈ R| ∃ x ∈ M : x > b"

4)
✎ к задаче 42619
\frac{1}{2-ln3} это постоянный множитель.

Правило:

Постоянный множитель k можно выносить за знак интеграла
∫ k*f(x)dx=k* ∫ f(x)dx


\int^{3}_{1} \frac{1}{2-ln3}x^2dx=\frac{1}{2-ln3}\int^{3}_{1} x^2dx=\frac{1}{2-ln3}\cdot(\frac{x^2}{2})|^{3}_{1}=

=\frac{1}{2-ln3}\cdot(\frac{3^2}{2}-\frac{1^2}{2})=\frac{1}{2-ln3}\cdot4=\frac{4}{2-ln3}


✎ к задаче 42620
1).
Неопределенность ( ∞ / ∞ )
Делим числитель и знаменатель на x^3

=\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3+8x-2}{x^3}}{\frac{x^3-2x^2+1}{x^3}}=

Делим почленно, те каждое слагаемое числителя делим на x^3 и
каждое слагаемое знаменателя делим на x^3:

\lim_{ \to \infty }\frac{\frac{3x^3}{x^3}+\frac{8x}{x^3}-\frac{2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3}-\frac{2x^2}{x^3}+\frac{1}{x^3}}=\frac{3+0-0}{1-0+0}=3


2)Неопределенность (0/0)
Раскладываем на множители и числитель и знаменатель:

=\lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(2x+7)}{(x-1)(3x+2)}=

сокращаем на (х-1)

=\lim_{x \to 1}\frac{2x+7}{3x+2}=\frac{2\cdot 1+7}{3\cdot 1+2}=\frac{9}{5}=1, 8


3.

По формулам приведения:

sin(2π(x+5))=sin(2πx+[blue]10π[/blue])=sin2πx


Применяем первый замечательный предел и следствия из него
( см. приложение)

\lim_{x \to 0}\frac{2 \pi x}{sin2 \pi x}=1

\lim_{x \to 0}\frac{ arctg2x}{2x}=1


\lim_{x \to 0}\frac{ arctg2x}{sin(2 \pi (x+5))}=\lim_{x \to 0}\frac{2 \pi x}{sin2 \pi x} \cdot lim_{x \to 0}\frac{ arctg2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0}\frac{2x}{2 \pi x}=\frac{1}{\pi}

4.

\frac{n^3+1}{n^3-1}=\frac{n^3-1+2}{n^3-1}=1+\frac{2}{n^3-1}

Так как
\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^{n}=e

( cм. тему число "e")

и потому

\lim_{n \to \infty }(1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}}=e


Тогда
\lim_{n \to \infty }(\frac{n^3+1}{(n^3-1)})^{2-n^3}=

=\lim_{n \to \infty }(1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}\cdot \frac{2}{n^3-1}\cdot (2-n^3)}=

=\lim_{n \to \infty }((1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}})^{ \frac{2(2-n^3)}{n^3-1}}=

\lim_{n \to \infty }((1+\frac{2}{(n^3-1)})^{\frac{n^3-1}{2}})^{lim_{n \to \infty }\frac{2(2-n^3)}{n^3-1}}=e^{lim_{n \to \infty }\frac{2(2-n^3)}{n^3-1}}=e^{-2}

так как

lim_{n \to \infty }\frac{2(2-n^3)}{n^3-1}=\frac{\infty }{\infty }=

Делим на n^3 как в примере 1

=lim_{n \to \infty }\frac{\frac {4-2n^3}{n^3}}{\frac{n^3-1}{n^3}}=\frac{-2}{1}=-2



✎ к задаче 42615
1)x ≠ -2

Функция t(x)=1/(x+2) непрерывна на (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ )

Функция y=f(t) непрерывна на (- ∞ ;-2)U(-2;+ ∞ ) как композиция непрерывных функций y=f(t) и t=t(x)

Исследуем точку х=-2

Находим [i]предел слева[/i]:
lim_(x → -2-0)f(x)=0, так как

1/(x+2) → - ∞ при х → -2-0 ( слева от точки х=-2, см график гиперболы y=1/(x+2))

2^(1/(x+2)) → 0 при x → -2-0, так как 2^(- ∞ ) → 0

Находим [i]предел справа[/i]:
lim_(x →-2+0)f(x)=0, так как

1/(x+2) → + ∞ при х → -2+0 ( справа от точки x=-2, см график гиперболы y=1/(x+2))

2^(1/(x+2)) → + ∞ при x →-2+0, так как 2^(+ ∞ ) → + ∞

Функция имеет один бесконечный предел в точке
Значит х=- 2 - точка разрыва [i] второго[/i] рода



2)
На (- ∞ ;0) функция непрерывна, так как y=2x^2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (0;π/2] функция непрерывна, так как y=cosx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

На (π/2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=x-(π/2) непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=0 и х=π/2

[red]x=0[/red]

Находим[i] предел слева[/i]:
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(2x^2)=0

Находим предел справа:
lim_(x → +0)f(x)=lim_(x → +0)cosx=1

предел слева ≠ пределу справа

х=0 - [i]точка разрыва первого рода[/i]

[red]х=π/2[/red]

Находим [i]предел слева[/i]:
lim_(x →(π/2) -0)f(x)=lim_(x → (π/2)-0)cosx=cos(π/2)=0

Находим [i]предел справа[/i]:
lim_(x →(π/2) +0)f(x)=lim_(x → (π/2)+0)(x-(π/2))=0

х=π/2 - [i]точка непрерывности [/i]

предел слева = пределу справа и равен значению функции в точке π/2
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 42616