✎ Задать свой вопрос   *более 30 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 495 Кузнечик прыгает по вершинам правильного

УСЛОВИЕ:

Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника ABC, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины A обратно в вершину A за 11 прыжков?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через an, bn, cn число способов переместиться за n прыжков в точку A, B, C соответственно, начиная из точки A. Из соображений симметрии, bn=cn, так как в любом маршруте можно поменять роли B и C.

Очевидно, что an+1=bn+cn=2bn, так как в точку A можно прийти или из B, или из C. Аналогично, bn+1=an+cn=an+bn из тех же соображений. Непосредственно ясно, что b0=0, b1=1, и при этом имеет место рекуррентное соотношение bn+2=an+1+bn+1=bn+1+2bn. Для нахождения формулы общего члена здесь имеются стандартные способы, но их можно избежать следующим образом. Попытаемся найти несколько первых членов последовательности bn (n?0), и угадать общую закономерность, которую далее станет можно доказать методом математической индукции.

Последовательность получается такая: 0,1,1,3,5,11,21,…. Здесь каждый следующий член примерно в два раза больше предыдущего, поэтому имеет смысл сравнить нашу последовательность с последовательностью степеней двойки: 1,2,4,8,16,32,64,…. Видно, что у второй последовательности каждый член примерно втрое больше. Поэтому рассмотрим утроенную последовательность 3bn, члены которой равны 0,3,3,9,15,33,63,…. Сравнивая с последовательностью степеней двойки, мы видим, что она получается из 3bn прибавлением последовательности 1,?1,1,?1,…, для которой формула общего члена равна (?1)n (напомним, что последовательности у нас нумеруются с нулевого члена). Таким образом, для нескольких первых членов последовательности верна формула 3bn=2^n?(?1)^n, то есть bn=(2^n?(?1)^n)/3. Остаётся подставить эти значения в рекуррентную формулу и убедиться в справедливости этого равенства для всех n?0, применяя метод математической индукции.

С учётом того, что an=2bn?1 при n?1, имеем окончательный ответ
an=(2^n+2?(?1)^n)/3.
При n=0 формула также даёт верное значение a0=1.
В нашем случае n=11

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?

ОТВЕТ:

682

Добавил slava191, просмотры: ☺ 2490 ⌚ 17.01.2014. математика 10-11 класс

Решения пользователей

РЕШЕНИЕ ОТ slava191

Подобная задача!

Кузнечик
Кузнечик прыгает по вершинам правильного треугольника ABC, прыгая каждый раз в одну из соседних вершин. Сколькими способами он может попасть из вершины A обратно в вершину A за 12 прыжков?

Решение:
Пусть кузнечик может совершить 1 прыжок, тогда число способов вернуться в вершину A равно 0, число способов попасть на вершину B равно 1.
Пусть всего 2 прыжка. Тогда число способов попасть обратно равно 2, а число способов попасть на вершину B равно 1.
Пусть A(k) - число способов вернуться в вершину A за k прыжков, B(k) - число способов попасть на вершину B за k прыжков. Тогда получаем, что A(k+1)=B(k)+C(k)=2B(k).
Также B(k+1)=A(k)+C(k)=A(k)+B(k)
(C(k) аналогичный показатель для вершины C, очевидно, что C(k)=B(k))
Итак, имеем два рекуррентных соотношения: A(k+1)=2B(k),B(k+1)=A(k)+B(k)
A(1)=0,B(1)=1,A(2)=2,B(2)=1,A(3)=2,B(3)=3 и т.д. Получаем A(12)=1366.

Ответ: 1366.

Вопрос к решению?
Нашли ошибку?
Хочешь предложить свое решение? Войди и сделай это!

Написать комментарий

Последние решения
Вводим в рассмотрение события ( гипотезы):
H_(1)-"из первого ящика во второй переложили два белых шарика"
H_(2)-"из первого ящика во второй переложили два черных шарика"
H_(3)-"из первого ящика во второй переложили один белый и один черный или один черный и один белый шарик"

p(H_(1))=\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{30}
p(H_(2))=\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{30}
p(H_(3))=\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}+\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{16}{30}

A-" из второго ящика вынут белый шарик"

p(A/H_(1))=\frac{5}{6}
p(A/H_(2))=\frac{3}{6}
p(A/H_(3))=\frac{4}{6}

По формуле полной вероятности:
p(A)=p(H_(1))*p(A/H_(1))+p(H_(2))*p(A/H_(2))+p(H_(3))*p(A/H_(3))=

=\frac{2}{30}\cdot\frac{5}{6}+\frac{12}{30}\cdot\frac{3}{6}+\frac{16}{30}\cdot\frac{4}{6}=\frac{11}{18}



✎ к задаче 40763
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 40760
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 40761
cos ∠ C=-3/4, значит угол С - тупой.
∠ С= ∠ B
∠ D= ∠ A - острые.

Сумма углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции равна 180 градусов.

cos ∠ D=cos(180 ° - ∠ C)=-cos ∠ C=-(-3/4)=3/4

Теперь легко найти высоту трапеции и нижнее основание

Проводим высоты ВК и СМ из точек В и С на AD
КМ=ВС=5 см

AК=МD=СD*cos ∠ C=8*(3/4)=6
AD=AK+KM+MD=6+5+6=17

СM^2=CD^2-MD^2=8^2-6^2=64-36=28

CM=sqrt(28)=sqrt(4*7)=2sqrt(7)

S(трапеции)=(AD+BC)*CM/2=(17+5)*(2sqrt(7))/2=22sqrt(7)


(прикреплено изображение)
✎ к задаче 40761
(прикреплено изображение)
✎ к задаче 40755