Задача 4766 а) Решите уравнение 2sin^2x =...

slava191

28.10.2015

а) Решите уравнение 2sin^2x = sqrt(3)cos(3Pi/2+x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-3Pi; -3Pi/2]

Итак начнем с упрощений, применим формулу приведения для cos(3Pi/2+x) = sinx, теперь мы имеем уравнение

2sin^2x = sqrt(3)sinx

2sin^2x - sqrt(3)sinx = 0

sinx(2sinx - sqrt(3)) = 0

sinx = 0

x = Pin, n ∈ Z

2sinx - sqrt(3) = 0

sinx = sqrt(3)/2

x1 = 2Pi/3 + 2Pin, n ∈ Z
x2 = Pi/3 + 2Pin, n ∈ Z

Отбор корней

1) -3Pi <= Pin <= -3Pi/2, n ∈ Z

-3 <= n <= -3/2

n = -3 -> x = -3Pi
n = -2 -> x = -2Pi

2) -3Pi <= 2Pi/3 + 2Pin <= -3Pi/2, n ∈ Z

-11/6 <= n <= -13/12

целых чисел на этом промежутке нет

3) -3Pi <= Pi/3 + 2Pin <= -3Pi/2, n ∈ Z

-5/3 <= n <= -11/12

n = -1 -> x = Pi/3 - 2Pi = -5Pi/3

То есть отобранные корни -3Pi, -2Pi, -5Pi/3

Ответ: a) Pin, 2Pi/3 + 2Pin, Pi/3 + 2Pin, n ∈ Z б) -3Pi, -2Pi, -5Pi/3