Задача 4694 В пространственном четырехугольнике ABCD...

AntonLapardin

25.10.2015

В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.

IlyaBerkyt

25.10.2015

Соединим точки D и B, А и С.

Проведем в пл. α (или пл. АВС)



в пл.



Соединив точки N и М, точки L и М, рассмотрим MNKL.

В



поэтому LK - средняя линия в ΔАВС;



В ΔBDC KN || DC, K - середина ВС, поэтому KN - средняя линия в ΔBDC.

В ΔADB т. М - середина AD, т. N - середина BD, поэтому MN -средняя линия в ΔADB;



В



поэтому ML - средняя линия в



Значит,



Из условия,



значит,



4-угольник MNKL - ромб, MK - диагональ, а в ромбе и биссектриса. Но углы NKM и LKM - искомые.