Задача 4173 Натуральные числа a, b, c и d...
Условие
а) Найдите числа a, b, c и d, если a+b+c+d=15 и a2−b2+c2−d2=19.
б) Может ли быть a+b+c+d=23 и a2−b2+c2−d2=23?
в) Пусть a+b+c+d=1200 и a2−b2+c2−d2=1200. Найдите количество возможных значений числа a.
Решение
19 - нечетно, значит, оно равно сумме четного и нечетного чисел. Таким образом одно из произведений `(a+b)(a-b)` и `(c+d)(c-d)` четно, и тогда у его "букв" одинаковая четность, а другое нечетно, и его "буквы" имеют разную четность.
Более того, четное произведение должно делиться на 4.
Имеем.
19=16+3
19=12+7
19=11+8
19=15+4
Последнее не подходит сразу, потому что видно, что сумма больше 15.
Из остальных трех подходит только 11+8, т.е. 6, 5, 3, 1.
б) Навскидку... Не знаю, насколько так можно...
`a^2-b^2+c^2-d^2=23`
Сумма `(a^2-b^2)+(c^2-d^2)` при `a+b+c+d=23` принимает наименьшее значение, когда числа `a` и `c` как можно меньше, а `b` и `d` - соответственно, как можно больше.
`f(a,b,c,d) -> min` достигается при значениях 8, 7, 5, 3.
`64-49+25-9= 31>23`.
Т.е. ответ отрицательный.