Задача 38661 решить уравнение и указать корни этого...

srdtxyfcj

2019-07-27 14:49:40

решить уравнение и указать корни этого уравнения принадлежащие отрезку
1) cos^2 x - cos2x =1/2 [-3П; -3П/2]
2) cos2x + sin^2 x = 0,75 [П; 5П/2]

vk397114329

2019-07-27 19:09:48

★

1) cos^2(x)-cos2x=1/2. [ -3pi; -3pi/2]
Решение: cos^2(x)=(1+cos2x)/2. поэтому
(1+cos2x)/2-coc2x=1/2. 1+cos2x+2cos2x=1.Отсюда cos2x=0. 2x=pi/2+pik. x=pi/4+pik/2.k ∈ z.Отберем корни принадлежащие указанному отрезку.
-3pi ≤ pi/4 +pik/2 ≤ -3pi/2. -3 ≤ 1/4+k/2 ≤ -3/2. -12 ≤ 1+2k ≤ -6. отсюда
-6,5 ≤ k ≤ -3.5. т.е. k=-4; -5; -6. получаем три корня:
pi/4-4pi/2=-11pi/4; pi/4-5pi2=-9pi/4; pi/4-6pi/2=-11pi/4.
Ответ: а) pi/4+pik/2.k ∈ z.
в) -11pi/4; -9pi/4; -7pi/4.
2) cos2x+sin^2(x)=0.75. [pi;5pi/2]
sin^2(x)=(1-cos2x)/2. поэтому
cos2x+(1-cos2x)/2=0,75 Отсюда 2cos2x+1-coz2x=1,5; cos2x=1/2,

2x=+(-)pi/3+2pik или x=+(-)pi/6+pik.k ∈ z. Произведем отбор корней:
1) Если x=pi/6+pik,k ∈ z,то тогда pi ≤ pi/6 ≤ 5pi/2, 1 ≤ 1/6+k ≤ 5/2,
отсюда k=1;2. Получаем два корня : pi/6+pi=7pi/6; pi/6+2pi=13pi/6.
2) Если x=-pi/6+pik,k ∈ z, то pi ≤ -pi/6+pik ≤ 5pi/2, 7/6 ≤ k ≤ 8/3,
отсюда k=2,получаем корень -pi/6+2pi=11pi/6.
Ответ: а) =+-pi/6+pik,k ∈ z.
в) 7pi/6; 11pi/6; 13pi/6.