Задача 34473 !!!СРОЧНО, помогите пожалуйста...
Условие
Все решения
а).Решим уравнение 2 * cos x + √3 = 0 и найдем его корень.
2 * cos x + √3 = 0;
Неизвестные значения оставляем на одной стороне, а известные значения перенесем на одну сторону. Тогда получаем:
2 * cos x = -√3;
cos x = -√3/2;
x = +- arccos (-√3/2) + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;
x = +- 5 * pi/6 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;
Ответ: x = +- 5 * pi/6 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z.
б).Решим уравнение sin (2x-ni/3)+1=0
sin(2x-ni/3)=-1
2x-ni/3=-ni/2+2ni*n
2x=-ni/6+2ni*n
x=-ni/12+ni*n, где n принадлежит z
в).Решим уравнение
sin(2п-x)-cos(3п/2+x)+1=0
-sinx-sinx=-1
-2sinx=-1
sinx=1/2
x=(-1) в степени к · arcsin1/2 +πk, k∈Z
x=(-1) в степени к ·π/6+πk, k∈Z
г).Решим уравнение
3sin²x=2sinx*cosx+cos²x |:cos²x≠0
3sin²x/cos²x=2sinx*cosx/cos²x+cos²x/cos²x
3tg²x=2tgx+1
3tg²x-2tgx-1=0
замена переменных: tgx=y
3y²-2y-1=0
D=(-2)²-4*3*(-1)=16
y₁=(-(-2)-4)/(2*3), y₁=-1/3
y₂=(2+4)/6 y₂=1
обратная замена:
y₁=-1/3, tgx=-1/3. x₁=arctg(-1)3+πn, n∈Z
y₂=1, tgx=1. x₂=π/4+πn, n∈Z
2. Выразим cos^2x через sin^2x и решим квадратное уравнение относительно sinx:
cos^2x + 3sinx - 3 = 0;
1 - sin^2x + 3sinx - 3 = 0;
-sin^2x + 3sinx - 2 = 0;
sin^2x - 3sinx + 2 = 0.
D = 3^2 - 4 * 2 = 9 - 8 = 1;
sinx = (3 ± √1)/2 = (3 ± 1)/2;
1) sinx = (3 - 1)/2 = 2/2 = 1;
x = π/2 + 2πk, k ∈ Z;
2) sinx = (3 + 1)/2 = 4/2 = 2 > 1 - нет решений.
2. В промежутке [-2π; 4π] - три корня уравнения:
-3π/2; π/2 и 5π/2.
Ответ: -3π/2; π/2 и 5π/2.
3.Однородное уравнение
Делим всё на cos^2x:
5tg^2x-2tgx+1=4 (sin^2x+cos^2x)
5sin^2x - 2sincosx + cos^x=4sin^2x + 4cos^2x
5sin^2x - 2sincosx + cos^x - 4sin^2x - 4cos^2x=0
sin^2x - 2sincosx - 3cos^2x=0 | : cos^2x
tg^2x - 2tg^2x - 3=0
tgx=t, где |t|<=1
Получаем квадраиное уравнение t^2 - 2t^2x - 3=0
D = 4+12=16
t1=-2+4/2 = 1
t2=-2-4/2=-3
tgx = 1
x = П/4 + Пn, n принадлежит z
tg = - 3
x = - arctg3 + Пn, n принадлежит z
4.
sin2x=√3cos2x
sin2x-√3cos2x=0
1/2sin2x-√3/2cos2x=0
cos П/3 sin2x-sin П/3cos2x=0
sin(2x- П/3)=0
2x- П/3= П*n
2x= П/3+ П*n
X= П/6+ П*n/2,n принадлежит z
При n=0:
х=П/6=3.14/6=0.52 принадл
При n=-1:
x=П/6-П/2 =-П/3=-3.14/3=-1.05 не принадл
Значения n<-1 рассматривать не имеет смысла.
При n=1:
x=П/6+П/2=2П/6=2*3.14/3=2.09 принадл.
При n=2:
x=П/6+П=7П/6=7*3.14/6=3.66 принадл
При n=3:
x=П/6+3П/2=5П/3=5*3.14/3=5.23 принадл.
При n=4:
x=П/6+2П=13П/6=13*3.14/6=6.8 не принадл.
Значения n>4 рассматривать не имеет смысла.
Ответ: П/6; 2П/3; 7П/6; 5П/3.