Задача 34053 ...

vk457319503

2019-02-28 19:44:47

Найти неопределенный интеграл под b

∫ (x^2+x+1)/((x+2)(x^2+2x+1)) dx

vk397114329

2019-02-28 23:01:23

∫ (x^2+x+1)dx/(x+2)(x+1)^2= ∫ (x^2+x+1)/(x+2)*(x+1)^2dx. Под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь у которой корни знаменателя действительные,но среди них есть кратные. Следовательно,разложение на простейшие дроби имеет вид (x^2+x+1)/(x+2)*(x+1)^2= A/(x+2)+B/(x+1)+C/(x+1)^2.Отсюда получаем тождество: x^2+x+1=A(x^2+2x+1)+B(x^2+3x+2)+C(x+2)=(A+B)x^2+(2A+3B+C)x+(A+2B+2C). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x. получим систему уравнений для определения коэффициентов A, B, C: { A+B=1; {2A+3B+c=1; { A+2B+2C=1. Отсюда A=3; B=-2; C=1. Таким образом получаем
∫ (x^2+x+1)dx/(x+2)(X+1)^2= ∫ 3dx/(x+2)- ∫ 2dx/(x+1)+ ∫ dx/(1+x)^2=
=3ln| x+2|-2ln|x+1|-1/(x+1)+c.