Задача 34053 ...

vk457319503

28 февраля 2019 г. в 19:44

Найти неопределенный интеграл под b

∫ (x²+x+1)/((x+2)(x²+2x+1)) dx

vk397114329

28 февраля 2019 г. в 23:01

∫ (x²+x+1)dx/(x+2)(x+1)²= ∫ (x²+x+1)/(x+2)·(x+1)²dx. Под знаком интеграла стоит правильная рациональная дробь у которой корни знаменателя действительные,но среди них есть кратные. Следовательно,разложение на простейшие дроби имеет вид (x²+x+1)/(x+2)·(x+1)²= A/(x+2)+B/(x+1)+C/(x+1)².Отсюда получаем тождество: x²+x+1=A(x²+2x+1)+B(x²+3x+2)+C(x+2)=(A+B)x²+(2A+3B+C)x+(A+2B+2C). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x. получим систему уравнений для определения коэффициентов A, B, C: { A+B=1; {2A+3B+c=1; { A+2B+2C=1. Отсюда A=3; B=–2; C=1. Таким образом получаем
∫ (x²+x+1)dx/(x+2)(X+1)²= ∫ 3dx/(x+2)– ∫ 2dx/(x+1)+ ∫ dx/(1+x)²=
=3ln| x+2|–2ln|x+1|–1/(x+1)+c.