Задача 29516 16. В трапеции ABCD с основаниями ВС и...

sova

2018-09-09 10:00:39

16. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые.
а) Докажите, что AB=CD;
б) Найдите AD, если АВ=2, BС=7

а)
Так как по условию углы ABD и ACD прямые, значит опираются на диаметр и около трапеции АВСD можно описать окружность.
Так как BC|| AD, то дуги заключенные между параллельными прямыми равны.
дуга АВ= дуге CD.
Значит и хорды, стягиваемые этими дугами равны.
АВ=СD.

б) В решении а) доказано, что трапеция АВСD - равнобедренная.
АО=ОD=OB=OC как радиусы описанной окружности.

Проведем высоты ВК и СМ из вершин верхнего основания на нижнее.

АК=MD
KO=OM=(1/2)BC=3,5

Пусть АК=MD=x

АО=х+3,5

Так как BK - катет прямоугольного треугольника АВК, то по теореме Пифагора
[b]BK^2[/b]=AB^2-AK^2

Так как BK - катет прямоугольного треугольника ВКO, то по теореме Пифагора
[b]BK^2[/b]=BO^2-KO^2

Получаем равенство:
AB^2-AK^2=BO^2-KO^2,

подставляя в него
АВ=2; АК=х; ВО=х+3,5; КО=3,5,

получаем уравнение:

2^2-x^2=(x+3,5)^2-3,5^2

4-x^2=(x+3,5-3,5)*(x+3,5+3,5);

4-x^2=x*(x+7)

2x^2+7x-4=0

D=49-4*2*(-4)=81

x=(7+9)/4=4, второй корень уравнения
отрицательный и не удовлетворяет смыслу задачи

AD=2x+7=2*4+7=15

О т в е т б) 15