Задача 29512 18. Найти все значения параметра а, при...

sova

2018-09-08 10:58:41

18. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений:
system{x^4-y^4=10a-24;x^2+y^2=a}
имеет ровно четыре различных решения.

Так как по формуле разности квадратов
x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2),
систему можно переписать так:
{(x^2-y^2)*a=10a-24;x^2+y^2=a}
a ≠ 0, так как в противном случае
второе уравнение имеет корни х=0; y=0,
которое не является решением первого уравнения.

{x^2-y^2=(10a-24)/а;x^2+y^2=a}

Складываем

2x^2=((10a-24)/a) + a

x^2=(10a-24+a^2)/2a

Уравнение должно иметь два корня (x_(1) и х_(2)), значит правая часть должна быть положительной:

[b](10a-24+a^2)/2a > 0 [/b]

y^2= a- x^2

y^2=a- ((10a-24+a^2)/2a)

y^2=(a^2-10a+24)/2a

Это уравнение тоже должно иметь два корня (y_(1) и y_(2)), тогда система будет иметь ровно четыре решения
(x_(1);y_(1)); (x_(1);y_(2)); (x_(2);y_(1)); (x_(2);y_(2)).

Для этого правая часть уравнения тоже должна быть положительной:

[b] (a^2-10a+24)/2a > 0[/b]

Значения параметра а находим из системы неравенств:

system {(10a-24+a^2)/2a > 0;(a^2-10a+24)/2a > 0}

a^2+10a-24=0
D=100-4*(-24)=196
a_(1)=-12; a_(2)=2

Решение первого неравенства:

__-__ (-12) __+___ (0) __-__ (2) __+___

a ∈( -12; 0) U (2;+ ∞ )

a^2-10a+24=0
D=100-4*24=100-96=4
a_(1)=4; a_(2)=6

Решение второго неравенства:

__-__ (0) __+___ (4) __-__ (6) __+___

a ∈( 0;4) U (6;+ ∞ )

Пересечение множеств
( -12; 0) U (2;+ ∞ ) и ( 0;4) U (6;+ ∞ )
дает окончательный ответ

[b] О т в е т. (2;4)U(6;+ ∞ )[/b]