Задача 29511 ...

sova

2018-09-08 10:06:26

15. Решить неравенство
log_(7)(2x^2+12)-log_(7)(x^2-x+12) ≥ log_(7)(2-(1/x))

ОДЗ:
{2x^2+12 > 0 при любом х;
{x^2-x+12> 0 при любом x, так как D=1-48 <0
{2 - (1/x) > 0 ⇒ (2x-1)/x > 0 ⇒ _+_ (0) _-_ (1/2) _+_ ⇒ x ∈ (- ∞;0)U(1/2;+ ∞ )

[b] ОДЗ: x ∈ (- ∞;0)U(1/2;+ ∞ ) [/b]

Перепишем неравенство:

log_(7)(2x^2+12) ≥ log_(7)(2-(1/x)) + log_(7)(x^2-x+12)

Сумму логарифмом заменим логарифмом произведения:

log_(7)(2x^2+12) ≥ log_(7)((2х-1)*(x^2-x+12)/х)

Логарифмическая функция с основанием 7 > 1 возрастает, что означает:
большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

(2x^2+12) ≥(2х-1)*(x^2-x+12)/х;

(2x^2+12) - ( (2х-1)*(x^2-x+12)/х) ≥ 0;

(2x^3+12x - (2x-1)*(x^2-x+12)/x ≥ 0;

(3x^2-13x+12)/x ≥ 0

D=169 - 4*3*12=169-144=25

x_(1)=(13-5)/6=4/3; x_(2)=(13+5)/6=3 - нули числителя.
х=0 - нуль знаменателя.
Метод интервалов:

_-__ (0) __+__ [4/3] ____-____ [3] __+__

х ∈ (0;4/3] U[3;+ ∞ )

C учетом ОДЗ:
[b]О т в е т. [1/2; 4/3] U[3;+ ∞ )[/b]

Ответ: О т в е т. [1/2; 4/3] U[3;+ ∞ )