Задача 26934 Л19) 19. По результатам теста по...

slava191

29.04.2018

Л19) 19. По результатам теста по математике ученик получает неотрицательное число баллов. Ученик войдет в группу А, если количество баллов не менее 45. Если количество баллов меньше 45, то ученик войдет в группу Б. Чтобы не расстраивать родителей, решили каждому ученику добавить 8 баллов, поэтому количество учеников группы А увеличилось.

A) Мог ли после этого понизиться средний балл учеников группы Б?

Б) Мог ли после этого понизиться средний балл учеников группы Б, если при этом средний балл учеников группы А тоже понизился?

B) Пусть первоначально средний балл группы А был 52 балла, группы Б - 34 балла, а средний балл всех учеников составил 46 баллов. После добавления средний балл группы А стал равен 58 баллов, группы Б - 38. При каком наименьшем числе участников возможна такая ситуация?

u1781555109

30.04.2018

★

A) Ответ - Да!
Почему?
Например, пусть у нас было 100 баллов, 44 балла и 0 баллов, т.е. 3 человека всего было.
Тогда получается в группе Б изначально общий балл был (44+0) / 2 = 22.
Далее по 8 баллов надбавляем, человек с 44 баллами уходит в группу А уже с 44+8 баллами, соответственно в группе Б остается только человек с баллом 0+8, ну и его значение будет средним для группы. Как видим, значение понизилось с 22 до 8.
Ответ - Да.
Б) Давайте рассмотрим то же самое значение, что у нас было. У нас в А первоначально был 1 человек со 100 баллами ну и следовательно средний балл был так же 100. Ну а далее что происходит.
Мы к 100 прибавляем 8, у нас перешел еще второй человек, у которого было 44+8. Новый средний балл: (100+8+44+8) / 2 = 80.
Как видим, понизился балл у А, и у Б, в пункте А) мы рассмотрели, тоже понизился. Поэтому, да, такой вариант возможен.
Ответ - Да.
В) Первоначально было А: 52, Б: 34, А+Б: 46
Стало А: 58, Б: 38, ну а в А+Б что получается, мы каждому же по 8 прибавляем, поэтому и средний балл тоже увеличивается на 8, т.е. А+Б: 54.
И давайте введем обозначения.
Пусть N у нас было всего учеников, в группе А сначала у нас было X, тогда в Б сначала у нас было N-X учеников.
Потом в А стало, например, Y учеников, в Б тогда стало N-Y.
Ну и собственно распишем с учетом среднего балла, т.е. возможный суммарный балл. Что у нас получается.
46·N - это первоначальный балл всех учеников. Он складывается из 34·(N-X) и 52·X. Ну и аналогично после надбавки 52·N = 38·(N-Y) + 58·Y.
Получаем систему уравнений
{46·N = 34·(N-X) + 52·X
{52·N = 38·(N-Y) + 58·Y;
Что получается, в первом уравнении у нас 12·N = 18·X, во втором 16·N = 20·Y.
Т.е. X = 2·N / 3, и Y = 4·N / 5
С учетом того, что X, Y и N - это числа натуральные, то N однозначно должно делиться нацело на 3 и на 5, наименьшее такое число - это 15.
Ответ 15.