Задача 26933 Л18) Найдите все значения параметра a,...

slava191

29.04.2018

Л18) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

(x^2-5+ln(x+a))^2 = (x^2-5)^2+ln^2(x+a)

имеет единственное решение на отрезке [0;3]

u1781555109

30.04.2018

★

(x^2–5+ln(x+a))^2 = (x^2–5)^2+ln^2(x+a)
ОДЗ: x > -a
Упростим:
Поставим x^2–5 в скобки
((x^2–5)+ln(x+a))^2 = (x^2–5)^2+ln^2(x+a)
и раскроем левую часть по формуле квадрата суммы.
(x^2–5)^2+2·(x^2–5)·ln(x+a)+ln(x+a)^2 = (x^2–5)^2+ln^2(x+a)
(x^2–5)^2 и ln(x+a)^2 сокращаются и остается:
2·(x^2–5)·ln(x+a) = 0
Разделим на 2.
(x^2–5)·ln(x+a) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Получаем совокупность уравнений.
[x^2–5 = 0
[ln(x+a) = 0;
[x = ±sqrt(5) ≈ ±2,3
[x = 1-a;
Давайте я x_(1) обозначу sqrt(5), x_(2) = 1-a, потому что по факту у нас 2 корня получились, один из которых однозначно попадает в наш отрезок. Какие у нас возможные варианты?!
1) x_(1) ∉ ОДЗ, а x_(2) ∈ [0, 3]
{sqrt(5) меньше или равно -a
{0 меньше или равно 1 - a меньше или равно 3;
{a больше или равно -sqrt(5)
{-2 меньше или равно a меньше или равно 1;
Как видим, в данном случае пересечения промежутков нет, поэтому данный вариант вообще не имеет решений ∅.
2) x_(1) ∈ ОДЗ, а x_(2) ∉ [0, 3]
{sqrt(5) > -a
{[1-a > 3
{[1-a < 0;
{a > -sqrt(5)
{[a < -2
{[a > 1;
a ∈ (-sqrt(5), -2)∪(1, +бесконечность)
3) x_(1) = x_(2)
1-a = sqrt(5)
a = 1-sqrt(5)
Объединяя, полученные решения, получаем
a ∈ (-sqrt(5), -2)∪{1-sqrt(5)}∪(1, +бесконечность)
Ответ: (-sqrt(5), -2)∪{1-sqrt(5)}∪(1, +бесконечность)