Задача 26777 х^2-|х+(а+3)|=|х-(а+3)|-(а+3)^2. При...

u18515621

25 апреля 2018 г.

х²–|х+(а+3)|=|х–(а+3)|–(а+3)². При каких а уравнение имеет единственное решение

u1781555109

25 апреля 2018 г.

★

х²–|х+(а+3)|=|х–(а+3)|–(а+3)²
х²+(а+3)²=|х–(а+3)|+|х+(а+3)|
Введём обозначение: b=a+3
В этом обозначении исходное уравнение принимает вид
х²+b²=|х–b|+|х+b|
Если некоторое число x₀ является решением этого уравнения, то и число –x₀ также является его решением. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение x=0
Решим уравнение относительно b
b²=2|b|
|b|·(|b|–2)=0
b=–2 или b=2 или b=0
При b=0 уравнение принимает вид x²=2|x| и имеет ровно три корня –2, 0 и 2.
При b=–2 или b=2 уравнение принимает вид
x²+4=|x–2|+|x+2|
При x < –2 это уравнение сводится к уравнению x²+2x+4=0, которое не имеет корней.
При –2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x²=0 которое имеет единственный корень.
При x > 2 это уравнение сводится к уравнению x²–2x+4=0, которое не имеет корней.
Таким образом, при b=–2 и при b=2 исходное уравнение имеет единственный корень.
Учитывая, что b=a+3, получаем a+3=–2 и a+3=2
Откуда, a=–5 и a=–1
Ответ: a=–5 и a=–1