Задача 26777 х^2-|х+(а+3)|=|х-(а+3)|-(а+3)^2. При...
Условие
Решение
х^2+(а+3)^2=|х–(а+3)|+|х+(а+3)|
Введём обозначение: b=a+3
В этом обозначении исходное уравнение принимает вид
х^2+b^2=|х–b|+|х+b|
Если некоторое число x_(0) является решением этого уравнения, то и число -x_(0) также является его решением. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то это решение x=0
Решим уравнение относительно b
b^2=2|b|
|b|·(|b|-2)=0
b=-2 или b=2 или b=0
При b=0 уравнение принимает вид x^2=2|x| и имеет ровно три корня -2, 0 и 2.
При b=-2 или b=2 уравнение принимает вид
x^2+4=|x-2|+|x+2|
При x < -2 это уравнение сводится к уравнению x^2+2x+4=0, которое не имеет корней.
При -2 меньше или равно x меньше или равно 2 получаем уравнение x^2=0 которое имеет единственный корень.
При x > 2 это уравнение сводится к уравнению x^2-2x+4=0, которое не имеет корней.
Таким образом, при b=-2 и при b=2 исходное уравнение имеет единственный корень.
Учитывая, что b=a+3, получаем a+3=-2 и a+3=2
Откуда, a=-5 и a=-1
Ответ: a=-5 и a=-1