Задача 2605 Найдите отношение высоты к радиусу...

Gunel

04.01.2015

Найдите отношение высоты к радиусу основания конуса с наименьшей площадью боковой поверхности среди конусов с одинаковым объемом.

slava191

08.01.2015

Пусть p - число пи, r - радиус основания, h - высота, V - объем (константа) , S - полная поверхность (переменная) .

S = 2pr^2 + 2prh
V = hpr^2 ===> h = V / pr^2
S = 2pr^2 + 2prV / pr^2 = 2pr^2 + 2V / r
Найдем производную функции:
S' = (2pr^2 + 2V / r) ' = 4pr - 2V / r^2
Т. к. V = hpr^2, то производная примет вид:
S' = 4pr - 2hpr^2 / r^2 = 4pr - 2hp
Найдем экстремумы:
4pr - 2hp = 0
2r - h = 0
h/r = 2