Задача 25145 ...

u9425160114

19 марта 2018 г.

∫cos⁶x dx =

vk397114329

19 марта 2018 г.

★

Воспользуемся формулой cos²(x)=1/2·(1+cos2x):
∫cos⁶(x)dx= ∫ (cos²(x))³dx= ∫((1+cos2x)/2)³dx=1/8· ∫ (1+3cos2x+3cos²(2x)+cos³(2x))dx=1/8 ∫dx+3/8 ∫cos2xdx+3/8 ∫cos²(2x)dx+1/8 ∫ cos³(2x)dx=
=x/8+3sin2x/16+3/8 ∫ (1+cos4x)·dx/2+
+1/8 ∫ (1–sin²(2x)cos2xdx=x/8+3sin2x/16+
+3/16 ∫ dx+3/16 ∫ cos4xdx+1/8 ∫ cos2xdx–
–1/8 ∫sin²(2x)·d(sin2x)/2=x/8+3/16·sin2x+
+3x/16+3sin4x/64+sin2x/16–1/48·sin³(2x)+c=
=5x/6+sin2x/4+3sin4x/64–1/48·sin³(2x)+c