Задача 22503 В прямоугольном...

u95153135229

16.01.2018

В прямоугольном параллелепипедеABCDA1B1C1D1 длины ребер AA1=15,AB=12,AD=8.Точка К-середина ребра C1D1, а точка L делит ребро BB1 в отношении 4:1, считая от вершины В1.
а) Найдите отношение, в котором плоскость LKA1 делит ребро СС1, считая от вершины С1.
б)Найдите косинус угла между плоскостями LKA1 и А1В1С1

vk397114329

18.01.2018

★

Решение: По условию ВВ1=15,В1L/BL=4/1. отсюда B1L=12
Прямоугольные треугольники A1B1L и KC1P подобны .Составляем пропорцию :KC1/A1B1=PC1/LB1 и находим PC1: PC1=6*12/12=6. PC=15-6=9. Находим ответ на первый вопрос C1P/PC=6/9=2/3. б) В треугольнике A1D1K угол Д-прямой. Находим А1К=sgrt(64+36)=10. В треугольнике А1В1К проведем В1F перпендикулярно А1К,найдем B1F: Пусть KF=x. тогда A1F=10-x. По теореме Пифагора находим KB1^2-x^2=A1B1^2-(10-x)^2. или 100-x^2=12^2-(10-x)^2. Решая уравнение получим х=2,8, который удовлетворяет условию задачи.Из треугольника KFB1 находим B1F=sgrt(B1K^2-x^2)=sgrt(100-7.84)=9.6. Соединим L и F. Найдем LF-проекция которой являетсяB1F перпендикулярная А1К: LK=sgrt(LB1^2+FB1^2)=sgrt(144+92.16)=sgrt(236.16). По теореме о трех перпендикулярах угол LFB1 искомый. Вычислим его: COS(LFB1)=FB1/LF=9.6/sgrt(236.16)=sgrt(48*16*12/48*41*12)=4/sgrt(41).
Ответ: а)2:3;
в)4/sgrt(41).