Задача 2112 Какую наименьшую сумму могут иметь семь...

slava191

01.11.2014

Какую наименьшую сумму могут иметь семь последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 1234567?

Гость

23.01.2015

81020304

ximera

02.11.2015

Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 1020304?

Решение:
Пусть первое число равно n, тогда последнее равно n+8.
Сумма всех чисел S=9n+1+2+...+8.
S=9n+8⋅9 / 2=9n+36 - делится на 9 (достаточно и необходимое условие на данное выражение).
По условию S=a1020304, где a - некоторое целое число (возможно 0), написанное в десятичном виде.
Сумма цифр, кроме a, равна 1+2+3+4=10.
По признаку делимости на 9, сумма цифр должна делится на 9.
Следовательно, сумма цифр S не меньше 18, а сумма цифр a не меньше 8.
Пусть a=8⇒S=81020304.
S=81020304=9n+36=9(n+4),
n+4=9002256⇔n=9002252.
Понятно, что если a будет состоять из двух цифр или больше, то S будет больше.
Получили искомое наименьшее число.

Ответ: 81020304.