Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 60. Найдите объем пирамиды A1MNPQ, где M, N, P, Q — середины сторон основания ABCD.
математика 10-11 класс
4806
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту. Высота пирамиды совпадает с высотой АА1 прямоугольного параллелепипеда. Главным здесь является вопрос о том, как меняется площадь четырехугольника, если его заменить на другой с вершинами в серединах сторон первого четырехугольника. Можно доказать, что его площадь всегда уменьшается в 2 раза. В данном частном случае можно это обосновать непосредственно. Четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, является ромбом. Его взаимно перпендикулярные диагонали равны по длине сторонам прямоугольника. Следовательно, площадь основания пирамиды в 2 раза меньше площади основания прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. В итоге искомый объем пирамиды в 6 раз меньше объема заданного параллелепипеда и равен 10.
Ответ: 10
