Задача 19722 9\(x+1)^2+(x+1)^2\16=3(3\x+1-x+1\4)-1\2...
Условие
Все решения
На ноль делить нельзя, поэтому ОДЗ: x≠−1x≠-1.
Пусть t=3x+1−x+14t=3x+1-x+14.
Возведем tt в квадрат, применив формулу квадрата разности (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2:
t2=9(x+1)2−1,5+(x+1)216t2=9(x+1)2-1,5+(x+1)216;
t2+1,5=9(x+1)2+(x+1)216t2+1,5=9(x+1)2+(x+1)216.
Получилось то же выражение, что в левой части уравнения. Сделаем замену:
t2+1,5=3t−12t2+1,5=3t-12;
t2−3t+2=0t2-3t+2=0
D=b2−4ac=D=b2-4ac= 9−4⋅2=19-4⋅2=1;
t=3+12=2t=3+12=2;
t=3−12=1t=3-12=1.
При t=2t=2:
3x+1−x+14=23x+1-x+14=2;
Найдем общий знаменатель:
12−(x+1)(x+1)−8(x+1)=012-(x+1)(x+1)-8(x+1)=0;
12−x2−2x−1−8x−8=012-x2-2x-1-8x-8=0;
x2+10x−3=0x2+10x-3=0;
D=100−4⋅(−3)=112D=100-4⋅(-3)=112;
x=−10±112−−−√2=x=-10±1122= −5±28−−√=−5±27–√-5±28=-5±27.
При t=1t=1:
3x+1−x+14=13x+1-x+14=1;
Найдем общий знаменатель:
12−(x+1)(x+1)−4(x+1)=012-(x+1)(x+1)-4(x+1)=0;
12−x2−2x−1−4x−4=012-x2-2x-1-4x-4=0;
x2+6x−7=0x2+6x-7=0;
D=36−4⋅(−7)=64D=36-4⋅(-7)=64;
x=−6+82=1x=-6+82=1;
x=−6−82=−7x=-6-82=-7.
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [0;2][0;2].
Сразу видно, что −7-7 не входит в данный отрезок, а 11 входит.
−5−27–√=-5-27= −25−−√−28−−√=-25-28= −53−−√-53;
−5+27–√=-5+27= −25−−√+28−−√=-25+28= 3–√3;
2=4–√2=4.
Теперь видно, что −5−27–√ < 0 < −5+27–√ < 2-5-27 < 0 < -5+27 < 2. Значит, данному отрезку принадлежит только −5+27–√-5+27.
Получились следующие корни: 1;−5+27–√1;-5+27.
Ответ: а) −5±27–√;1;−7-5±27;1;-7;
б) 1;−5+27–√1;-5+27.