Задача 17870 ФИЗТЕЗ МАТ-10) Во время опроса 76...

slava191

02.10.2017

ФИЗТЕЗ МАТ-10) Во время опроса 76 человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых 10 опрошенных по крайней мере 3 указали один и тот же фильм. При каком наибольшем M можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся M человек, указавших один и тот же фильм?

u859314469

08.10.2017

★

Если из любых 10, минимум трое указывают один и тот же фильм, то людей указавших другой максимум 7. Следовательно, 69 человек указали один и тот же фильм. Если я правильно понимаю вопрос, то ответ 69. Тогда при опросе 76, 69 точно укажут один и тот же фильм. Комментарии 495-720-09-51 Елена Викторовна

vanya771

18.10.2017

Пусть фильмов n, расположим их в порядке возрастания голосов(то есть за A1 проголосовало меньше всего, а за An больше всего), пусть Ai-количество человек, выбравших i-ый фильм.
К сожалению n от нас не зависит, поэтому мы должны рассмотреть все возможные n.
Очевидно, что n < 9 (иначе составим десятку из 1ого человека, который выбрал 1ый фильм+1ого человека, который выбрал 2ой фильм+...+1ого человека, который выбрал 8ой фильм и 2ух человек, выбравших 9ый фильм 2+8=10, то есть нашлась ''десятка'', противоречащая условию)
Если n=8, то A1=A2=...=A7=1; A8=76 ( пусть нет, тогда A7 > =2, положим А7=2, A1=A2=...=A6=1, A8=2 и получим противоречие). То есть при n=8 мы гарантированно можем сказать, что найдется A8=76 человек (это частный случай был рассмотрен выше).
Если n=7 == > A1=A2=...=A5=1, A6=k1; A7=k2; A8=k3 (k3 > =k2 > =k1 > 1) ( Пусть это не так, тогда A5 > =2. Положим A1=A2=...=A4=1;A5=A6=A7=A8=2, получим противоречие).
4+k1+k2+k3=76== > kmin < =(76-4)/3=24. (Если их приравнять, что 4+3k=76== > k=24, далее, если уменьшить какое-то k, а другое увеличить, то kmin будет то самое k,которое мы уменьшили, отсюда вывод)
n=6 == > A1=1; Ai > 1, где 2 < =i < =6 (Пусть нет, тогда A1 > =2, возьмем A1=2; A3=A4=...=A6=2, получим противоречие).
Также приравняем Ai, где 2 < =i < =6 (так как нам нужно найти, сколько гарантированно человек проголосовали за конкретный фильм)
1+5A=76== > A=15.
n < =5, то 76/n > 15.
Ответ: 15.

vk318474530

25.10.2017

Вот решение от Поступашек для следующего условия: [b]Во время опроса 72 человек каждому из них предлагалось указать один любимый фильм. Оказалось, что из любых 10 опрошенных по крайней мере 3 указали один и тот же фильм. При каком наибольшем M можно утверждать, что среди опрошенных обязательно найдутся M человек, указавших один и тот же фильм?[/b]