Задача 16221 (6*9^(x+1)-10) / (81^(x-1/2)-9) меньше...
Условие
Решение
9^(x+1)=9^(x)*9=9t;
81^(x-(1/2))=(9^(2))^(x-(1/2))=9^(2x-1)=9^(2x)*9^(-1)=
=(1/9)*9^(2x)=(1/9)*t^(2).
Неравенство принимает вид:
(54t - 10)/((1/9)t^(2)-9) меньше или равно 1
или
(-t^2+486t-9)/(t-9)(t+9) меньше или равно 0;
(t^2-486t+9)/(t-9)(t+9) больше или равно 0
Решаем неравенство методом интервалов.
Находим нули числителя:
t^2-486t+9=0
D=(-486)^2-4*9=236196-36=236160
t1=(486-24sqrt(410))/2=243-12sqrt(410) или t2=243+12sqrt(410)
Находим нули знаменателя
t=-9 и t=9
Расставляем знаки
_+__ (-9) _-_ [ t1] _+__ 9 __-__ [t2] _+___
C учетом t > 0 получаем ответ:
[t1;9) U [t2; + бесконечность)
Обратная замена
243-12sqrt(410) меньше или равно 9^x < 9
или
9^x больше или равно 243+12sqrt(410)
Так как 9 > 1 и показательная функция возрастает, то
log_(9) (243-12sqrt(410) )меньше или равно х < 1 или
х больше или равно log-(9)(243+12sqrt(410))
О т в е т. [log_(9) (243-12sqrt(410);1)U[ log_(9) (243+12sqrt(410));+ бесконечность)