Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины его прямого угла, разбивает этот треугольник на два треугольника, в которые вписаны окружности радиусов 1 и 2. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.
математика 10-11 класс
15691
Решение: В подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей равно отношению длин соответственных сторон. Пусть дан треугольник ABC с прямым углом C из вершины которого проведена высота CD. Радиусы окружностей , вписанных в треугольники ACD и BCD ,равны соответственно r1 и r2.Нужно найти радиус окружности ,вписанной в треугольник ABC, обозначим его через r. кроме того пусть AB=c, AC=b, BC=a. Треугольники ACD и ABC подобны (у них равные углы при вершинеA), поэтому r/r1=c/b, откуда b=r1*c/r. Прямоугольные треугольники CBD и ABC ( у них равные углы при вершине B), поэтому r/r2=c/a, откуда a=r2*c/r. Угол C прямой поэтому a^2+b^2=c^2. Возведя в квадрат выражения для a и b и складывая их, получим (r1/r)^2*c^2+(r2/r)^2*c^2=c^2. или (r1^2+r2^2)/r^2=1. Отсюда r=sqrt(r1^2+r2^2).=sqrt(1+4)=sqrt(5).
Ответ. sqrt(5).
