а) Докажите, что ВС=2АВ.
б) Найдите ВС, если АС=3sqrt(2).
Первый случай: пусть окружности касаются внешним образом.
а)Треугольник АОВ - равнобедренный(АО и ВО - радиусы), = > угол ОАВ равен углу ОВА.
Треугольник ВО1С - равнобедренный(ВО1 и СО1 - радиусы), = > угол СВО1 равен углу ВСО1.
При этом угол ОВА равен углу О1ВС, как вертикальные.
= > угол ОАВ = углу ОВА = углу СВО1 = углу ВСО1
Значит, треугольник АОВ подобен треугольнику СО1В по трём углам,
Тогда ОВ/О1В=АВ/ВС=2/4=1/2
Откуда, ВС=2АВ
б) Из подобия треугольников следует, что ВС=2/3АС
Если АС=3sqrt(2), то ВС=2/3*3sqrt(2)=2sqrt(2)
Второй случай: окружности касаются внутренним образом.
а)Треугольник АОВ - равнобедренный(АО и ВО - радиусы), = > угол ОАВ равен углу ОВА.
Треугольник СО1В - равнобедренный(СО1 и ВО1 - радиусы), = > угол О1СВ равен углу О1ВС.
= > угол ОАВ = углу ОВА = углу ВСО1
Значит, треугольник АОВ подобен треугольнику СО1В по трём углам,
Тогда ОВ/О1В=АВ/ВС=2/4=1/2
Откуда, ВС=2АВ
б)Из подобия треугольников следует, что ВС=2АС
Если АС=3sqrt(2), то ВС=2*3sqrt(2)=6sqrt(2)
Тогда в треугольнике СО1В: ВС > (СО1+ВО1), 6sqrt(2) > 8, что невозможно. Значит, второй случай при заданных условиях невозможен.
Ответ: б)2sqrt(2)