Задача 12450 ...

SOVA

21 декабря 2016 г.

а) Решить уравнение 15^cosx=3^cosx·(0,2)^–sinx;
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[–3π;–3π/2].

a)15^cosx=3^cosx·(0,2)^–sinx;
15^cosx=(3·5)^cosx=3^cosx·5^cosx;
(0,2)^–sinx=(1/5)^–sinx=(5^–1)^–sinx=5^sinx;
Уравнение принимает вид:
3^cosx·5^cosx=3^cosx·5^sinx;
3^cosx > 0
5^cosx=5^sinx
cosx=sinx
tgx=1
x=(π/4)+πk, k∈Z

б) Чтобы найти корни, принадлежащие отрезку [–3π;–3π/2] рассмотрим неравенства.
–3π ≤ (π/4)+πk ≤ –3π/2, k∈Z
–3 ≤ (1/4)+k ≤ –3/2, k∈Z
–3 целых 1/4 ≤ k ≤ (1/4)–(3/2), k∈Z
–3 целых 1/4 ≤ k ≤ (–5/4), k∈Z
неравенству удовлетворяют k=–3 и k=–2
При k=–3
x=(π/4)–3π=–11π/4
При k=–2
x=(π/4)–2π=–7π/4


Ответ: О т в е т. а)(π/4)+πk, k∈Z; б) -11π/4; -7π/4.