Задача 12346 Расстояние между центрами окружностей...

Julia_Trusova

18 декабря 2016 г.

Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность.

а)Докажите, что её точка касания с прямой совпадает с точкой касания одной из первых двух окружностей.

б)Найдите радиус третьей окружности.

а) Пусть х– радиус искомой окружности, О–её центр. СD–внутренняя касательная данных окружностей, О1 и О2 – их центры. Заметим, что прямая CD – либо общая внешняя касательная окружностей с центрами О и О2(см. рис.), либо окружностей с центрами О и О1(см. рис.). При этом её точка касания с прямой совпадает с точкой касания одной из первых двух окружностей, так как касательная будет проходить через общую точку(точку касания) окружностей.

б) Для нахождения радиуса третьей окружности, докажем сначала следующее утверждение. Если а–расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a⩾r+R, общая внешняя касательная касается окружностей в точках А и В, внутренняя в точках С и D, то
AB=√a²–(R–r)², CD=√a²–(R+r)².
Действительно, пусть О1 и О2 –центры окружностей радиусов r и R соответственно(см. рис.2). Из точек О1 и О2 опустим перпендикуляры О1Q на прямую О2В и О2F на прямую О1С. Из прямоугольных треугольников О1QO2 и O1FO2 находим, что
O1Q=√O1O2²–QO2²=√a²–(R–r)², O2F=√O1O2²–FO1²–√a²–(R+r)².
Следовательно, CD=O2F=√a²–(R+r)².
По доказанному CD=√17²–(1+9)²=√(17–10)(17+10)=√7·27=3√21

В первом случае CD–общая внешняя касательная к окружности с центрами О и О2, поэтому CD=√(x+9)²–(9–x)²=6√х
6√х=3√21
2√х=√21
4х=21
х=5,25

Во втором случае CD–общая внешняя касательная к окружностям с центрами О и О1, поэтому CD=√(x+2)²–(2–x)²=2√х
2√х=3√21
4x=189
x=47,25


Ответ: 5,25; 47,25