Задача 12333 Найти наименьшее значение функции...

SOVA

18 декабря 2016 г.

Найти наименьшее значение функции у=e^2x–5e^x–2 на отрезке [–2;1]

y`=e<sup>2x</sup>·(2x)`–5e^x
y`=2e<sup>2x</sup>–5e<sup>x</sup>
y`=0
2e^2x–5e^x=0
e^x·(2e^x–5)=0
e^x > 0, 2e^x–5=0
e^x=5/2
x=ln 2,5
ln 2,5 < lne, так как 2,5 < e ≈ 2,72

Находим знак производной
[–2]___–__ (ln2,5) __+__[1]

x=ln2,5 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
y(ln2,5)=e^2ln2,5–5e^ln2,5–2=e^ln2,52–5·2,5–2=2,5²–5·2,5–2=–8,25
Применяем основное логарифмическое тождество и формулу логарифма степени.


Ответ: -8,25