Задача 12256 Площадь полной поверхности данного...

Julia_Trusova

16.12.2016

Площадь полной поверхности данного правильного тетраэдра равна 80 см^2. Найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, ребро которого в 4 раза меньше данного тетраэдра. Ответ дайте в см^2.

Пусть а - сторона основания данного тетраэдра, b-боковое ребро.
Площадь полной поверхности тетраэдра равна сумме площади основания и трёх площадей боковых граней.
Sосн.=sqrt(3)/4*a^2 - площадь основания данного тетраэдра.
Sбок.=1/2*а*h
h=sqrt(b^2-(a/2)^2)=sqrt(4b^2-a^2)/2 - высота боковой грани данного тетраэдра
Sбок.=1/2*а*sqrt(4b^2-a^2)/2=1/4*а*sqrt(4b^2-a^2) - площадь боковой грани данного тетраэдра.
Sпол.пов.=sqrt(3)/4*a^2 + 3*1/4*а*sqrt(4b^2-a^2)=sqrt(3)/4*a^2 + 3/4*а*sqrt(4b^2-a^2)=80 (см^2) - площадь полной поверхности данного правильного тетраэдра.

Sосн.2=sqrt(3)/4*(a/4)^2=sqrt(3)/64*а^2 - площадь основания изменённого тетраэдра
h2=sqrt((b/4)^2-(a/8)^2)=sqrt(4b^2-a^2)/8 - высота боковой грани изменённого тетраэдра
Sбок.2=1/2*а/4*sqrt(4b^2-a^2)/8=1/64*а*sqrt(4b^2-a^2) - площадь боковой грани изменённого тетраэдра
Sпол.пов.=sqrt(3)/64*a^2 + 3*1/64*а*sqrt(4b^2-a^2)=sqrt(3)/64*а^2 + 3/64*а*sqrt(4b^2-a^2)=1/16*(sqrt(3)/4*a^2 + 3/4*а*sqrt(4b^2-a^2))=1/16*80=5(см^2) - площадь полной поверхности изменённого тетраэдра.

Ответ: 5