Задача 12148 Дана правильная четырёхугольная пирамида...

Julia_Trusova

11.12.2016

Дана правильная четырёхугольная пирамида МABCD, все рёбра которой равны 6. Точка N-середина ребра МА, точка К делит боковое ребро МВ в отношении 5:1, считая от вершины М.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки N и К параллельно прямой AD, является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Так как сечение проходит через точки N и К параллельно прямой AD, проведем прямые NE||AD, KF||BC.
FENK-искомое сечение.
NE||AD, KF||BC, при этом AD||BC (ABCD-квадрат), = > NE||KF, тогда FENK-трапеция.
Треугольник NMK = треугольнику EMF по двум сторонам и углу между ними, = > KN=FE
Значит, FENK-равнобедренная трапеция.

б) NE=1/2AD=1/2*6=3(NE-средняя линия треугольника AMD)
KF=5(MK:KB=5:1, MB=6, = > MK=5, KB=1. Треугольник KMF правильный, = > KF=AM=5)
NH-высота трапеции
KH=(5-3):2=1

Из треугольника NMK по теореме косинусов: NK^2=3^2+5^2-2*3*5*cos(NMK)
NK^2=34-30*1/2=19
NK=sqrt(19)

По теореме Пифагора из треугольника NHK: NH=sqrt(19-1)=sqrt(18)=3sqrt(2)

S(FENK)=1/2*(NK+KF)*NH=1/2*(3+5)*3sqrt(2)=12sqrt(2)

Ответ: 12sqrt(2)