Задача 11824 Известно, что для положительных чисел a,...

SOVA

26.11.2016

Известно, что для положительных чисел a, b, c каждое из трех уравнений

ax^2+15bx+c=0
bx^2+15cx+a=0
cx^2+10ax+b=0

имеет хотя бы один действительный корень.

Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 27? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня).

Так как каждое уравнение имеет корни, то дискриминанты уравнений неотрицательны.
225b2–4ac ≥ 0;
225с2–4ab ≥ 0;
100a2–4bc ≥ 0.

По условию произведение корней первого уравнения равно 27.
По теореме Виета произведение корней первого уравнения равно с/а.
с/а=27
с=27а
Тогда
225b2–4a·27a ≥ 0:
164025a2–4ab ≥ 0;
100a2–4b·27a ≥ 0;

По условию коэффициенты a,b,c положительные
a/b ≤ 15/6√3=5/2sqrt(3);
a/b ≥ 4/164025;
a/b ≥ 108/100=27/25.

Произведение корней второго уравнения по теореме Виета равно a/b
Из неравенств для a/b получаем, наименьшее значение произведения корней второго уравнения равно 27/25


Ответ: 27/25=1,08