Задача 11810 При каких значениях параметра а система...

SOVA

25.11.2016

При каких значениях параметра а система уравнений
system{x+y=2-a; 2xy=4+a^2}
имеет единственное решение

Исключаем параметр а из системы
{a=2-x-y;
{2xy=4+(2-x-y)^2.

Упростим второе уравнение.
2xy=4+4+x^2+y^2-4x-4y+2xy
x^2-4x+4+y^2-4y+4=0
(x-2)^2+(y-2)^2=0
Так как (х-2)^2 больше или равно 0 при любых х,
(у-2)^2 больше или равно 0 при любых y,
равенство 0 возможно лишь
при
х-2=0 и у-2=0
х=2; у=2 - единственное решение системы
при а=2-2-2=-2

Ответ: а=-2