Задача 11705 При каких значениях параметра а...

SOVA

20.11.2016

При каких значениях параметра а уравнение x^2+4ax+4a^2-4=0 имеет корни, удовлетворяющие условию: один корень меньше 3, второй корень больше 3.

Обозначим
f(x)=x^2+4ax+4a^2-4.
Решение получается на основании графического расположения параболы.
Так как ветви параболы направлены вверх и по условию эта парабола пересекает ось ох в двух точках ( уравнение имеет два корня), то отрезок [x_(1),x_(2)] должен содержать внутри себя точку x=3.
Следовательно, значение квадратного трехчлена x^2+4ax+4a^2-4 при х=3 должно быть отрицательным.
Решаем неравенство
f(3) < 0
3^2+4a*3+4a^2-4 < 0
4a^2+12a+5 < 0
D=144-4*4*5=64
a=(-12-8)/8=-5/2 или а=(-12+8)/8=1/2
___+__ (-5/2) _-_ (1/2) __+__

О т в е т. (-5/2;1/2)

Ответ: а∈(-5/2;1/2)