Задача 11684 Во сколько раз уменьшится площадь...

Julia_Trusova

19.11.2016

Во сколько раз уменьшится площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, если все её ребра уменьшить в 6 раз?

Sпов = 3Sбок.треуг. + Sосн
Пусть сторона основания треугольника данной пирамиды равна а, а боковое ребро равно b.
Так как пирамида правильная, то Sосн=sqrt(3)/4*a^2
Sбок.треуг=1/2*a*h
h=sqrt(b^2-(a/2)^2)=sqrt(b^2-1/4*a^2)
Sбок.треуг=1/2*a*sqrt(b^2-1/4*a^2)
Sпов = 3*1/2*a*sqrt(b^2-1/4*a^2)+sqrt(3)/4*a^2=3/2*a*sqrt(b^2-1/4*a^2)+sqrt(3)/4*a^2
Если уменьшить рёбра пирамиды в 6 раз, то получим а1=а/6, b1=b/6
То есть
Sпов.2 = 3/2*a/6*sqrt((b/6)^2-1/4*(a/6)^2)+sqrt(3)/4*(a/6)^2=3/2*a/6*sqrt(1/36*b^2-1/4*1/36*a^2)+sqrt(3)/4*1/36a^2=1/36[3/2*a*sqrt(b^2-1/4*a^2)+sqrt(3)/4*a^2]
Значит, площадь поверхности пирамиды уменьшится в 36 раз.


Ответ: 36