Задача 11684 Во сколько раз уменьшится площадь...

Julia_Trusova

19 ноября 2016 г.

Во сколько раз уменьшится площадь поверхности правильной треугольной пирамиды, если все её ребра уменьшить в 6 раз?

Sпов = 3Sбок.треуг. + Sосн
Пусть сторона основания треугольника данной пирамиды равна а, а боковое ребро равно b.
Так как пирамида правильная, то Sосн=√3/4·a²
Sбок.треуг=1/2·a·h
h=√b²–(a/2)²=√b²–1/4·a²
Sбок.треуг=1/2·a·√b²–1/4·a²
Sпов = 3·1/2·a·√b²–1/4·a²+√3/4·a²=3/2·a·√b²–1/4·a²+√3/4·a²
Если уменьшить рёбра пирамиды в 6 раз, то получим а1=а/6, b1=b/6
То есть
Sпов.2 = 3/2·a/6·√(b/6)²–1/4·(a/6)²+√3/4·(a/6)²=3/2·a/6·√1/36·b²–1/4·1/36·a²+√3/4·1/36a²=1/36[3/2·a·√b²–1/4·a²+√3/4·a²]
Значит, площадь поверхности пирамиды уменьшится в 36 раз.


Ответ: 36